Изменения
→Слияние упорядоченных последовательностей
== Модель вычислений во внешней памяти ==
Обычно оценка сложности рассматриваемых алгоритмов происходит в модели под названием ''RAM-машина''<ref>[[wikipedia:Random-access_machine |Wikipedia {{---}} Random-access machine]]</ref>. Это означает, что у нас есть оперативная память, из которой мы можем читать и писать произвольную ячейку памяти за время элементарной операции. Таким образом время вычислительных операций и операций с памятью приравниваютсяприравнивается, что сильно упрощает анализ.
Но в таком случае размер данных, с которыми мы работаем, должен помещаться в оперативную память. Предположим, что ее размер порядка <tex>10-100</tex> GB, а обработать нам нужно порядка <tex>10</tex> TB информации. Очевидно, что необходимо использовать какую-то внешнюю память, например {{---}} жесткий диск. Хотя диски существенно дешевле
[[Файл:External memory.png|240px|thumb|Оперативная память слева вмещает <tex>\dfrac{M}{B}</tex> блоков размера <tex>B</tex>. Внешняя память справа неограниченна.]]
оперативной памяти и имеют высокую емкость, они гораздо медленнее оперативной памяти из-за механического построения считывания. Для сравнения, время обращения к оперативной памяти порядка <tex>100</tex> ns, а к HDD {{---}} порядка <tex>10</tex> ms. Разница колоссальная (<tex>10^{-7}</tex> s и <tex>10^{-2}</tex> s). Однако, основное время тратится на позиционирование головки жесткого диска, из-за чего разрыв в скорости последовательного чтения не такой большой. Из оперативной памяти можно читать со скоростью порядка <tex>10</tex> GB/s, с HDD {{---}} порядка <tex>100</tex> MB/s.
Из-за описанного выше, для оценки сложности алгоритмов во внешней памяти была предложена другая модель. Модель говорит гласит следующее {{---}} у нас есть : существует какая-то внешняя память и процессор со своей внутренней памятью. Внутренняя память ограничена и имеет размер порядка <tex>M</tex> машинных слов. Внешняя память считается безграничной в рамках рассматриваемой задачи, то есть имеет размер хотя бы порядка <tex>N</tex> машинных слов, где <tex>N</tex> {{---}} размер задачи. Чтение и запись из внешней памяти происходит блоками последовательных данных размера <tex>B</tex> {{---}} машинных слов. В качестве меры сложности принимается количество операций ввода-вывода, которые выполняет алгоритм, где одна операция ввода-вывода это либо чтение из внешней памяти одного блока размера <tex>B</tex>, либо запись.
У данной модели есть один существенный недостаток {{---}} : мы никак не учитываем время, которое тратится на вычисления, а считаем только ''IO-complexity''обращения к диску. Из-за этого многие задачи в данной модели решаются быстрее, чем в модели с ''RAM-машиной''. Например, прочитав какой-то блок, далее мы имеем право произвести экспоненциальный по сложности перебор , и это никак не будет учитываться. Поэтому нужно иметь в виду, что данная модель стремится эффективно использовать жесткий диск, а не балансировать между использованием процессора и жесткого диска.
== Размер блока ==
Так как время позиционирования головки внешнего диска весьма непредсказуемо, то необходимо взять размер блока таким, чтобы время чтения самих данных было гораздо больше, чем время позиционирования к этим данным. То есть должно выполняться <tex>seek\_time \leqslant read\_time</tex>. Если <tex>read\_time = 100</tex> MB/s, <tex>seek\_time = 10</tex> ms, то <tex>B \geqslant 1</tex> MB. На практике, размер блока нужно брать больше чем <tex>1</tex> MB (около <tex>8-16</tex> MB), так как тогда время позиционирования станет существенно меньше времени чтения.
== Примитивные Базовые задачи ==
=== Scan ===
=== Слияние упорядоченных последовательностей ===
Пусть имеется две упорядоченные последовательности размера <tex>N_1</tex> и <tex>N_2</tex> соответственно. Чтобы их слить, можно достаточно завести во внутренней памяти <tex>3 </tex> блока. В первые <tex>2 </tex> мы будем читать сами последовательности, а в третий будем {{---}} записывать результат слияния, используя [[Сортировка_слиянием#Слияние_двух_массивов | стандартный алгоритм ]] с <tex>2 </tex> указателями. Как-то только какой-то из указателей дошел до конца блока , необходимо считывать следующий, а когда буфер с результатом слияния заполнился {{---}} необходимо записывать его во внешнюю память и очищать. Сложность алгоритма {{---}} <tex>\mathcal{O}(Scan(N_1 + N_2))</tex>
=== Сортировка ===
Поскольку мы легко умеем выполнять слияние упорядоченных последовательностей, то логичным шагом будет рассмотреть сортировку во внешней памяти. Рассмотрим некоторую модификацию алгоритма [[Сортировка слиянием|Merge sort]]. В стандартном алгоритме все элементы разбиваются на пары, после чего сливаются в упорядоченные последовательности длины <tex>2</tex>, те в свою очередь сливаются в последовательности длины <tex>4 </tex> и т.д. так далее (для простоты в данном алгоритме описания будем считать , что <tex>N </tex> и <tex>B</tex> это степень степени двойки). Во внешней памяти не выгодно начинать с последовательностей длины <tex>1</tex>, так как чтение происходит блоками длины <tex>B</tex>. Вместо этого можно целиком считать блок и отсортировать его во внутренней памяти. Тогда количество листьев в дереве сортировки будет не <tex>N</tex>, а <tex>\dfrac{N}{B}</tex>. Помимо этого, гораздо выгоднее сливать больше чем <tex>2 </tex> списка за раз, чтобы уменьшить высоту дерева сортировки. Так как оперативная память размера <tex>M</tex>, то можно сливать сразу <tex>\dfrac{M}{B}</tex> списков. Итого, на каждом уровне дерева сортировки мы выполняем <tex>\mathcal{O}\left(\dfrac{N}{B}\right)</tex> операций и итоговая сложность {{---}} <tex>\mathcal{O}\left(\dfrac{N}{B}\log_{\frac{M}{B}}\dfrac{N}{B}\right) = Sort(N)</tex>.
[[Файл:External sort.png]]
В качестве небольшой оптимизации можно в начале сортировать во внутренней памяти последовательности длины <tex>M</tex>, а не <tex>B</tex>. Хотя итоговая сложность и станет <tex>\mathcal{O}\left(\dfrac{N}{B}\log_{\frac{M}{B}}\dfrac{N}{M}\right)</tex>, но это уменьшит высоту дерева сортировки всего на единицу, что не очень сильно скажется на времени работы.
=== Join ===
== List Ranking ==
Если есть <tex>3</tex> последовательных элемента <tex>x</tex>, <tex>y</tex>, <tex>z</tex> (<tex>next_x = y</tex>, <tex>next_y = z</tex>) Таблица D, в которой записаны удаляемые элементыто при удалении элемента <tex>y</tex> нужно увеличить вес <tex>z</tex> на <tex>w_y</tex>. То есть <tex>w_z'=w_z + w_y</tex>. После того, как мы посчитаем ответ для модифицированного списка, ранг удаленного элемента <tex>y</tex> будет равен <tex>r_y=r_z+w_z</tex>.
Теперь пройдемся <tex>3</tex> указателями по этим таблицам. Как только встречается триплет вида <tex>(i, j) Таблица R из пар \in Conn</tex>, <tex>(i, r_iw_i)\in W</tex>, <tex>(i) \in D</tex>, то добавим в которой записаны ранги элементов модифицированного спискановую таблицу пару <tex>(j, w_i)</tex>. В конце получится таблица добавок весов. Теперь из таблицы добавок и таблицы весов можно с помощью того же Join получить таблицу новых весов.
Также пройдемся <tex>3</tex> указателями по этим таблицам. Если нам встречается триплет вида <tex>(j, i) \in RevConn</tex>, <tex>(j, w_j) \in W</tex>, <tex>(j, r_j) \in R</tex>, то добавим пару <tex>(i, r_j + w_j)</tex> в таблицу новых рангов. Однако в эту таблицу попадут все элементы, у которых следующий элемент не был удален. Поэтому далее необходимо заменить лишние записи, используя таблицу старых рангов и Join. === Выбор удаляемых элементов === Открытым остался вопрос о том, какие элементы удалять. В идеале было бы удалять каждый второй элемент (больше нельзя, иначе ограничение будет нарушено), но понять какой элемент четный, какой нечетный не проще чем сама задача ранжирования. Один из способов удалять элементы {{---}} вероятностный. Для каждого элемента в списке бросим монетку. После этого выбросим всех орлов, после которых в списке идет решка (делается опять же с помощью Join). В таком случае никакие два выброшенных элемента не будут идти в списке подряд. Подсчитаем матожидание [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] количества выброшенных элементов {{---}} <tex>E(D) = \sum\limits_{(i, j) \in Conn}\fracdfrac{1}{4} = \fracdfrac{N}{4}</tex>
Тогда время работы алгоритма можно оценить с помощью рекурренты <tex>T(N) = T\left(\dfrac{3N}{4}\right) + Sort(N) = \mathcal{O}(Sort(N))</tex>
== См. также ==
* [[Cache-oblivious алгоритмы]]
* [[B-дерево]]
* [[B+-дерево]]
== Примeчания ==
<references/>
== Источники информации ==
* [https://www.lektorium.tv/course/22905 Максим Бабенко {{---}} Курс алгоритмов во внешней памяти.]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/External_memory_algorithm Wikipedia {{---}} External memory algorithm.]
[[Категория:Алгоритмы]]
[[Категория:Алгоритмы во внешней памяти]]