403
правки
Изменения
м
Обозначим за Площадь сектора <tex>SECT_{AOB}</tex> площадь сектора равна <tex>\frac{AOBx}2</tex>. Тогда
ну не надо везде пихать <tex dpi=...> >_<
{{Утверждение
|statement=
<tex dpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>
|proof=
[[file:Sin1.png|thumb|300px]]
воспользуемся геометрическим смыслом синуса.
Рассмотрим радианную меру угла <tex>\alpha</tex>, равную отношению длины дуги к радиусу окружности.
В частности, при <tex>r = 1</tex>, длина дуги совпадает с величиной угла.
<tex dpi= "150">0 \leq x \le \frac\pi2</tex>
Сектор <tex>ADB AOB \subset \triangle AOD</tex>
<tex>\sin x = |BC| \leq AB < \buildrel \smile \over{AB} = x</tex>
<tex dpi= "150">\sin x < x \Rightarrow \frac{\sin x}x < 1</tex>. Запомним этот факт.
<tex dpi= "150">\frac{SECT_{AOB}x}{x/2} \leq S_{\triangle AOD}</tex>,<tex dpi= "150">\frac12 \operatorname{tg } x = \frac12 \frac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \cos x \leq \frac{\sin x}{x}</tex>
Но тогда, <tex dpi= "150">\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</tex>.
Но так как <tex>\lim\limits_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1</tex>
Тогда <tex dpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex dpi= "150">e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex>
}}
Из этого, подставив <tex dpi= "150">x = \frac1n</tex>, получим
<tex dpi= "150">\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e</tex>
Далее, прологарифмировав последнее равенство, получим:
<tex dpi= "150">\frac{\logln(1 + x)}x</tex> при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex>.
=== (e^x - 1)/x ===
|proof=
<tex dpi= "150">\frac{e^x - 1}{x}</tex>(подставив <tex>t = e^x - 1</tex>)
<tex dpi= "150"> = \frac{t}{\ln (1 + t)}</tex>.Однако, по только что доказанному,Тогда <tex dpi= "150">\frac{\ln (1 + x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 1 \Rightarrow \frac{t}{\ln (1 + t)} \xrightarrow[t \to 0]{} 1</tex>
}}
* База: <tex>n = 1</tex>.
Это соответствует функции <tex>x</tex>. Тогда <tex dpi= "150">\Delta y = \Delta x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1, \Delta x \to 0</tex>
Тогда <tex>x' = 1 = 1 \cdot x^{1 - 1}</tex>
Заметим, что если <tex>y = f(x)</tex> непрерывна и монотонна в окрестности <tex>0</tex>, а также, <tex>f'(x_0) \ne 0</tex>, то
обратная функция дифференцируема в <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, и её производная равна <tex dpi= "150">\frac1{f'(x_0)}</tex>. Это следует из того факта, что <tex dpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{\frac{\Delta x}{\Delta y}}</tex>.
Ранее мы доказали, что <tex>\frac{e^x - 1}{x} \xrightarrow[x\to 0]{} 1</tex>.
Тогда <tex dpi= "150">y' = \frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x</tex>.
Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать). Именно поэтому <tex>e</tex> занимает такое важное место в
{{Утверждение
|statement=
<tex dpi= "150">\ln'(x) = \frac1x</tex>
|proof=
<tex>x = e^y</tex>. Тогда <tex>x' = e^y</tex>.
Пусть <tex>y = \sin x</tex>.
<tex dpi= "150">\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)</tex>
<tex dpi= "150">\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2} \right)</tex>
Первый множитель, равный вычисленному ранее пределу, равен <tex>1</tex>, а второй при <tex>\Delta x \to 0</tex> стремится к <tex>\cos x</tex>.
Тогда <tex dpi= "150">\sin'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \cos x</tex>.
}}
