Рассмотрим группу вращений куба <tex>G</tex>:
* <tex>1</tex> Тождественное вращение.
* <tex>4</tex> вращения на угол <tex>120^{\circ}</tex> и <tex>4</tex> вращения на угол <tex>240^{\circ}</tex> вдоль главных диагоналей куба, имеющих по <tex>2</tex> орбиты на гранях (<tex>k^2</tex> орбит на раскрасках соответственно).
* <tex>6</tex> вращений на угол <tex>180^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих середины противоположных ребер, имеющих по <tex>3</tex> орбиты на гранях (<tex>k^3</tex> орбит на раскрасках соответственно).
* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>90^{\circ}</tex> и <tex>3</tex> вращения на угол <tex>270^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих центры противоположных граней, имеющих по <tex>3</tex> орбиты на гранях (<tex>k^3</tex> орбит на раскрасках соответственно).
* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>180^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих центры противоположных граней, имеющих по <tex>4</tex> орбиты на гранях (<tex>k^4</tex> орбит на раскрасках соответственно).
Итого ''Последующие изображения с развертками будут подразумевать такое же соответствие вершин, как на рисунке ниже. На развертках будем показывать раскраски, а на самом кубе ребро, через которое мы будем вращать его. Цвета на развертке лишь показывают то, что грани с одинаковым цветом должны быть одинаково раскрашены.''[[Файл:burnside-intro.png|top]]* <tex>1</tex> Тождественное вращение. Поскольку ничего не происходит, мы можем покрасить каждую грань в любой цвет <tex>\Rightarrow k^6 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-1+(.png|top]]* <tex>4+</tex> вращения на угол <tex>120^{\circ}</tex> и <tex>4)+6+</tex> вращения на угол <tex>240^{\circ}</tex> вдоль главных диагоналей куба (3+3)+3=24вращений четыре, поскольку главных диагоналей <tex>4</tex> повороташт.). При вращении, при которых куб если одна грань переходит в себядругую, мы должны покрасить их в один цвет. Других различных поворотовТакие раскраски будут являться стабилизатором данного вращения. Из рисунка видно, которые переводят что мы можем покрасить наш куб в себя не существует, поскольку ''группа вращений'' <tex>Gk^2</tex> цветов (в <tex>k</tex> изоморфна ''симметрической группе'' цветов одни три грани и в <tex>S_4k</tex> ''(без доказательствацветов другие три грани)''.[[Файл:burnside-2.png|top]]* <tex>6</tex> вращений на угол <tex>180^{\circ}</tex> вдоль осей, тогда из тогосоединяющих середины противоположных ребер <tex>\Rightarrow k^3 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-3.png|top]]* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>90^{\circ}</tex> и <tex>3</tex> вращения на угол <tex>270^{\circ}</tex> вдоль осей, что соединяющих центры противоположных граней <tex>\Rightarrow k^3 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-4.png|S_4|=24top]]* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>180^{\circ}</tex> следуетвдоль осей, что мы указали все преобразования, которые переводят куб в себя, причем различным образомсоединяющих центры противоположных граней <tex>\Rightarrow k^4 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-5.png|top]]
Давайте введем обозначения для наших вращенийИтого <tex>1+(4+4)+6+(3+3)+3=24</tex> поворота, при которых куб переходит в том же порядкесебя. Других различных поворотов, которые переводят куб в котором они были указанысебя не существует, поскольку ''группа вращений'' [https: //en.wikipedia.org/wiki/Octahedral_symmetry <tex>G</tex> изоморфна ''симметрической группе'' <tex> \{ e S_4</tex>], \alpha тогда из того, \beta , \gamma , \xi \} что <tex>|S_4|=24</tex>следует, тогда что мы указали все преобразования, которые переводят куб в себя, причем различным образом. Теперь с помощью Леммы Бёрнсайда найдем искомый ответ: :<tex> |C| = \dfrac{1} {|G|} \sum\limits_{g \in G}|St(g)| = \dfrac{1} {24} (k^6 + 8k^2 + 6k^3 + 6k^3 + 3k^4) = \dfrac{1} {24} (k^6 + 3k^4 + 12k^3 + 8k^2)</tex>
:<tex> |C| = \dfrac{1} {|G|} \sum\limits_{g \in G}|St(g)| = \dfrac{1} {|G|} (|St(e)| + |St( \alpha )| + |St( \beta )| + |St( \gamma )| + |St( \xi )|) =</tex>
:<tex> \dfrac{1} {24} (k^6 + 8k^2 + 6k^3 + 6k^3 + 3k^4) = \dfrac{1} {24} (k^6 + 3k^4 + 12k^3 + 8k^2)</tex>
==См. также==
