403
правки
Изменения
м
Нет описания правки
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Некоторые определения ==
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
|proof=
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к себе, то, так как <tex>KX</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
