1302
правки
Изменения
м
{{TODO|t=\phi неплохо бы заменить на \varphi}}
→ПРОЧИТАТЬ И ДОРАБОТАТЬ: 1
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
|about= Следствие
|proof=
Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
Тогда <tex>[m; M]</tex> {{---}} множество значений функции.
По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.
}}
2. Вычисление определенного интеграла сложной функции:
Пусть
<tex>y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \phivarphi(t), \ t\in[\alpha; \beta]</tex>
<tex>\phivarphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \phivarphi(t_2)</tex>, <tex>a = \phivarphi(t_1)</tex>
В рамках этих обозначений <tex>\int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\phivarphi(t)) \phivarphi'(t) d t</tex>
{{TODO|t=далее идет типа доказательство}}
Монотонность <tex>\phivarphi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл(число).
Пусть выполняются все условия для этой формулы.({{TODO|t=что за бреееед????}}) Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.
По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
<tex>G(t) = F(\phivarphi(t))</tex>
<tex>G'(t) = F'(x) \phivarphi'(t) = f(\phivarphi(t)) \phivarphi'(t)</tex>
<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\phivarphi(t)) \phivarphi'(t) dt = </tex> <tex>G(t_2) - G(t_1) =</tex> <tex>F(\phivarphi(t_2)) - F(\phivarphi(t_1)) = </tex> <tex>F(b) - F(a)</tex>
У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
}}
