Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cup Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.
# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
