Изменения

|statement=Последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex> является линейной рекуррентной последовательностью с <tex>k</tex> первыми заданными членами , определяемыми коэффициентами <tex>c_1, c_2, \ldots, c_k</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> её производящая функция <tex>A(t)</tex> является дробно-рациональной, причём представимой в виде <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>degQ(Qt) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>, <tex>deg(P) < k</tex>.

<tex>\LeftarrowRightarrow</tex> Пусть <tex>c_1, c_2, \ldots, c_k</tex> {{---}} коэффициенты, задающие линейную рекуррентную последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex>, то есть первые <tex>k-1</tex> членов заданы, а для следующих справедливо соотношение <tex>a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}</tex>. Напишем друг под другом несколько производящих функций и соответствующих им формальных степенных рядов:

Пусть :<tex>A(t) = a_0 + a_1 \dfrac{Pcdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_k \cdot t^k + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots</tex>:<tex>-c_1 \cdot t \cdot A(t)= 0 - c_1 \cdot a_0 \cdot t - c_1 \cdot a_1 \cdot t^2 - \ldots - c_1 \cdot a_{k - 1}\cdot t^k - \ldots - c_1 \cdot a_{Q(n - 1} \cdot t)}^n - \ldots</tex>, :<tex> deg-c_2 \cdot t^2 \cdot A(Qt) = 0 + 0 - c_2 \cdot a_0 \cdot t^2 - \ldots - c_2 \cdot a_{k - 2} \cdot t^k- \ldots - c_2 \cdot a_{n - 2} \cdot t^n - \ldots</tex>, :<tex> deg(P) < k\cdots</tex>. Тогда имеем :<tex>P-c_k \cdot t^k \cdot A(t) = A(0 + 0 + 0 + \ldots +0-c_k \cdot a_0 \cdot t) ^k - \ldots - c_k \cdot a_{n - k} \cdot Q(t)^n + \ldots</tex>.

Так как :<tex>degA(Pt) < \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + \\ + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k</tex>, то для <tex>- 1} c_i \forall n cdot a_{k - 1 - i}) \geqslant cdot t^{k </tex> выполнено <tex>p_n - 1} + (a_k - \sum\limits_{i = 0</tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul| произведения степенных рядов]], получаем <tex>1}^k c_i \cdot a_{k - i}) \cdot t^k + \ldots + (a_n - \sum\limits_{i = 01}^n a_i k c_i \cdot q_a_{n - i} = 0) \cdot t^n + \ldots</tex>

Раскрывая сумму, получаем Для всех <tex>a_n \cdot q_0 + a_{n - 1} \cdot q_1 + geqslant k</tex> выполняется равенство <tex>a_n = \ldots + a_{n - k} sum\cdot q_k + a_limits_{n - k - i = 1} ^k c_i \cdot q_{k+1} + a_{n - k - 2} \cdot q_{k+2i} + \ldots + a_{0} \cdot 0 = 0</tex>. ///// , поэтому в правой части все коэффициенты при степенях, начиная с <tex>deg(Q) = k</tex>. , обнулятся, а равенство будет выглядеть следующим образом:

Так как :<tex>q_0 = A(t) \cdot (1</tex>, а <tex>q_i - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 -c_i</tex>, то <tex>a_n c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_{n k - 1} - \ldots sum\limits_{i = 1}^{k -c_k 1} c_i \cdot a_{n k - 1 - i}) \cdot t^{k- 1} = 0</tex>.

Тогда Заметим, что второй множитель в левой части равен в точности <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n Q(t)</tex>, а степень правой части не превосходит <tex>k- 1} + \ldots + c_k \cdot a_{n - k}</tex>. Получили требуемое построение.

'''Замечание.''' Многочлен <tex>P(t)</tex> можно найти по формуле <tex>A(t) \Rightarrowcdot Q(t)</tex> как числитель получившейся дроби. К результату можно применить взятие его по модулю <tex>t^k</tex>. Это действие не испортит многочлен, так как его степень строго меньше <tex>k</tex>. При этом мы сократим число операций при вычислении <tex>P(t)</tex>, поскольку достаточно найти только <tex>k</tex> первых членов результирующего ряда, а для этого можно обойтись только первыми <tex>k</tex> слагаемыми степенных рядов, соответствующих производящей функции <tex>A(t)</tex> и столькими же для <tex>Q(t)</tex>.<!-------Для того чтобы сократить число операций, все действия могут быть выполнены по модулю <tex>t^k</tex>.-------->

<tex>A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_k \cdot t^k + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldotsLeftarrow</tex>

Пусть <tex>-c_1 A(t) = \cdot dfrac{P(t)}{Q(t \cdot A)}</tex>, <tex>Q(t) = 0 1 - c_1 \cdot a_0 \cdot t - c_1 \cdot a_1 c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_1 \cdot a_{k - 1} c_k \cdot t^k </tex>, <tex> deg(P) < k</tex>. <!-- \ldots ------<tex> deg(Q) = k</tex>(да, я подумаю, как красиво исправить <tex> deg(Q) = k</tex> на <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot a_{n t - 1} c_2 \cdot t^n 2 - \ldots- c_k \cdot t^k</tex>. просто страшно сносить дальнейшие рассуждения, где используются <tex>q_i</tex> :( ... либо же буду рада любым идеям :3).----->

Перепишем первое равенство, выразив <tex>-c_2 \cdot P(t^2 \cdot )</tex> через <tex>A(t)</tex> и <tex>Q(t)</tex>: <tex>P(t) = 0 + 0 - c_2 \cdot a_0 \cdot A(t^2 - \ldots - c_2 \cdot a_{k - 2} ) \cdot Q(t^k - \ldots - c_2 \cdot a_{n - 2} \cdot t^n - \ldots)</tex>.

Так как <tex>deg(P) < k</tex>, выполнено <tex>p_n = 0</tex> для любого <tex>n \geqslant k </tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul|произведения степенных рядов]], получаем <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^n a_{n-i} \cdotscdot q_{i} = 0</tex>.

Разобьём полученную сумму на две: <tex>-c_k p_n = \sum\cdot tlimits_{i = 0}^{k } a_{n-i}\cdot A(t) = 0 + 0 + 0 q_{i} + \ldots - c_k sum\cdot a_0 \cdot tlimits_{i = k+1}^k - \ldots - c_k \cdot n a_{n - ki} \cdot q_{i}</tex>. Так как <tex> Q(t^n + \ldots)</tex>известно, можем определить, чему равны эти суммы. Для первой выполняются равенства:

Почленно складывая эти формальные степенные ряды:<tex> q_0 = 1</tex>, получаем:<tex> q_i = -c_i</tex> для всех <tex> i</tex> за исключением нуля.

Вторая же компонента равна нулю, поскольку <tex>Adeg(tQ) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^= k) </tex>. Тогда <tex>p_n = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t a_n + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \\ + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 n- i}) \cdot t^{k - 1} + (a_k - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_c_{k - i}) \cdot t^k + \ldots + (= a_n - \sum\limits_{i = 1}^n c_i \cdot k a_{n - i}) \cdot t^n + \ldotsc_{i} = 0</tex> .

Так как Развернём выражение для <tex>\forall n \geqslant k: a_n = \sum\limits_{i = 1}^n c_i \cdot a_{n - i}p_n</tex>, то все коэффициенты при степенях, начиная с <tex>k</tex>-ой включительно, обнулятся.:

Тогда :<tex>A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \\ + \ldots + (a_{k - 1} a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{k n- 1i} c_i \cdot c_{i} = a_n - a_{k n- 1 - i}) \cdot t^c_1 - \ldots - a_{n-k - 1}\cdot c_k = 0</tex>.

Обозначим Перенесём все слагаемые, кроме <tex>Q(t) = (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k)a_n</tex>, вправо:

а :<tex>P(t) a_n = a_0 + (a_1 a_{n- c_1 1} \cdot a_0) \cdot t c_1 + (a_2 a_{n- c_1 2} \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_{k n- 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}c_k</tex>.

Тогда Видим, что <tex>a_n</tex>A(t) {{---}} член линейной рекуррентной последовательности, заданной коэффициентами <tex>c_1, c_2, \cdot Q(t) = P(t)ldots, deg(Q) = c_k</tex>, причём это выполнено для всех <tex>n \geqslant k</tex>, deg(P) так как индекс < ktex>n</tex>, удовлетворяющий данному условию, выбирался произвольно.

*: Таким образом, <tex>F(t) = \dfrac{1}{1 - t - t^2}</tex>-------------------->