Изменения
→Некоторые непрерывные отображения
Любое МП - нормальное.
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing , F_1, F_2</tex>, F_1, F_2 - замкнутые <tex> \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_1 \subset G_1, F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
|proof=
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
