40
правок
Изменения
Метод Абеля, без доказательства.
Для правил суммирования требуется выполнение некоторых условий.
* Если Линейность: если ряд из <tex>b_n</tex> имеет суммой <tex>B</tex> по правилу <tex>F</tex>, то ряд из <tex>\alpha a_n + \beta b_n</tex> должен по этому правилу иметь суммой <tex>\alpha A + \beta B</tex>.
* Перманентность (регулярность): если <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A</tex> (ряд имеет сумму в обычном смысле), то <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A(F)</tex>
Следовательно, по определению предела <tex>\frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k</tex> стремится к нулю.
==Метод Абеля==
===Некоторые умозаключения===
<tex>(n + 1)\sigma_n = S_0 + S_1 + \ldots + S_n</tex>
<tex>n\sigma_n = S_0 + s_1 + \ldots + S_{n - 1}</tex>
Выразим частичные суммы через <tex>n</tex> и <tex>\sigma</tex>:
<tex>(n + 1)\sigma_n - n\sigma_{n - 1} = S_n</tex>
<tex>n\sigma_{n - 1} - (n - 1)\sigma_{n - 2} = S_{n - 1}</tex>
Выразим через это же элемент ряда:
<tex>(n + 1)\sigma_n - 2n\sigma_{n - 1} + (n - 1)\sigma_{n - 2} = a_n</tex>
Поделим все выражение на <tex>n</tex>:
<tex>\frac {a_n}{n} = (1 + \frac {1}{n})\sigma_n - 2\sigma_{n - 1} + (1 - \frac {1}{n})\sigma_{n - 2}</tex>
Мы знаем, что <tex> \sigma_n\to S </tex> при <tex> n \to \infty</tex>. Получается, что <tex> \frac {a_n}{n}\rightarrow 0</tex>.
===Необходимый признак===
Из предыдущего пункта вытекает необходимый признак:
Если ряд суммируется методом средних арифметических<tex dpi>(\exists \lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n)</tex>, то <tex>\frac {a_n}{n} \to 0</tex>. Однако, существуют ряды, у которых это требование не выполняется. Например: <tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (-1)^k(k + 1)</tex>. Было бы неплохо научиться что-нибудь делать хотя бы с некоторыми такими рядами.
===Метод Абеля===
<tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex>, пусть <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex>(в классическом смысле). Полагаем <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>(если таковой существует).
{{Определение||definition = <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} = S(A)</tex>, где <tex>A</tex> {{---}} метод Абеля.}}
===Доказательство правильности===
*Линейность - очевидна из определения.
*Эффективность:
*Перманентность:
