Изменения

{{Определение| definition ='''Система (лес, объединение) непересекающихся множеств''' (СНМ, disjoint set forest, DSF, disjoint set union, DSTDSU) {{--- }} иерархическая структура данных, поддерживающая операции unionпозволяющая эффективно работать с множествами. __TOC__== Описание ==Структура хранит набор объектов (xнапример, yчисел от <tex> 0 </tex> до <tex> n - 1 </tex>) - объединения в виде непересекающихся множеств, содержащих x и y, и find(k) - поиск . У каждого множества, которому принадлежит элемент kесть конкретный представитель.}}

__TOC__Определены две операции:* <math> \mathrm{union(x, y)} </math> {{ --- }} объединяет множества, содержащие <tex> x </tex> и <tex> y </tex>* <math> \mathrm{find (x)} </math> {{ --- }} возвращает представителя множества, в котором находится <tex> x </tex>Для любого элемента множества представитель всегда одинаковый. Поэтому чтобы проверить принадлежность элементов <tex> x </tex> и <tex> y </tex> одному множеству достаточно сравнить <math> \mathrm{find (x)} </math> и <math> \mathrm{find(y)} </math>. [[Файл:DSU_1_Example.png|500px|center|Пример работы СНМ]]

Псевдокод<!--'''Оценка работы:'''{| class="wikitable" border="1" |init |find |union |- |<tex>O(n)</tex> |<tex>O(1)</tex> |<tex>O(n)</tex> |}--> Пусть в массиве s хранятся номера множеств, в <tex> s[i] </tex> будет храниться номер множества, к которому принадлежит <tex> i </tex>. Этот номер отождествляет множество, <math> \mathrm{find} </math> возвращает именно его. Тогда <math> \mathrm{find} </math>, очевидно, будет работать за <tex>O(1)</tex>. Чтобы объединить множества <tex> x </tex> и <tex> y </tex>, надо изменить все <tex> s[i] </tex>, равные номеру множества <tex> x </tex>, на номер <tex> y </tex>. Тогда <math> \mathrm{union} </math> работает за <tex>O(n)</tex>.  '''int''' s[n] '''func''' init(): '''for ''' i = 0 '''to s.size ''' n - 1: s[i] = i <font color=green> //сначала каждый элемент лежит в своем множестве</font>  '''int''' find(k): '''return''' s[k]  '''func''' union(x, y): '''if ''' s[x] == s[y]: '''return''' '''else:'''

'''for ''' i = 0 '''to s.size ''' n - 1: '''if ''' s[i] == t:

 === С помощью списка ===<!--'''Оценка работы:'''{| class="wikitable" border="1" |init |find |union |- |<tex>O(n)</tex> |<tex>O(n)</tex> |<tex>O(1)</tex> |}--> Будем хранить множество в виде списка. Для каждого элемента списка храним ссылку на следующий элемент и указатель на <tex> head </tex>, который является представителем. Для того чтобы найти представителя, нужно перейти по ссылке на <tex> head </tex>. Значит <math> \mathrm{find} </math> работает за <tex> O(1) </tex>. Для объединения множеств потребуется объединить два списка и обновить ссылки на <tex> head </tex>. Таким образом, <math> \mathrm{union} </math> работает за <tex> O(n) </tex>.Чтобы объединить два списка, нужно хранить ссылку на <tex> tail </tex>. Ее можно хранить в голове списка.  '''struct''' SetItem '''int''' data '''SetItem''' head '''SetItem''' next '''SetItem''' tail  '''SetItem''' s[n]  '''func''' init(): '''for''' i = 0 '''to''' n - 1 s[i].data = i s[i].head = s[i] s[i].tail = s[i] s[i].next = null  '''int''' find(k'''SetItem''' x): <font color=green> // подразумевается, что <tex> x </tex> {{ --- }} ссылка на один из элементов </font> '''return s''' x.head.data  '''func''' union('''SetItem''' x, '''SetItem''' y): <font color=green> // <tex> x </tex> и <tex> y </tex> {{ --- }} элементы множеств</font> x = x.head y = y.head '''if''' x == y '''return''' x.tail.next = y <font color=green> // соединим списки </font> x.tail = y.tail <font color=green> // сделаем корректную ссылку на <tex> tail </tex> в <tex> head</tex></font> '''while''' y <tex> \neq </tex> null <font color=green> // скорректируем ссылки на <tex> head </tex> у элементов множества <tex> y </tex> </font> y.head = x y = y.next [[Файл:DSU_list_example.png|800px|center|Пример объединения двух множеств (union)]] == Другие реализации ==* [[СНМ (списки с весовой эвристикой)]]* [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)]] == Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85%D1%81%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 Википедия {{---}} Система непересекающихся множеств]* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/104772/ Система непересекающихся множеств и её применения]* Т. Кормен - Алгоритмы, построение и анализ. Второе издание. Часть V. Глава 21. [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[kКатегория: Структуры данных]]