Изменения

Пусть <tex> union(v1v_1,v2v_2) </tex> - — процедура слития объединения двух множеств , содержащих <tex> v1 v_1 </tex>,и <tex> v2 v_2 </tex>, а <tex> get(v) </tex> - — поиск корня поддерева представителя множества, содержащего <tex> v </tex>. Рассмотрим <tex> n </tex> операций <tex> union </tex> и <tex> m </tex> операций <tex> get </tex>(<tex> m > n </tex>). Для удобства и без потери Не теряя общности , будем считать , что <tex> union </tex> принимает в качестве аргументов корни поддеревьев и <tex> m > n </tex>представителей, то есть <tex> union(v1v_1,v2v_2) </tex> заменяем на <tex> union(get(v1v_1),get(v2v_2)) </tex>.

Тогда нам надо оценить Оценим стоимость операции <tex> get(v) </tex>. Обозначим <tex>R(v)</tex> - — ранг вершины,<tex>P(v)</tex> - отец вершины— представитель множества, содержащего <tex> v </tex>,<tex>L(v) </tex> - самый первый — отец вершины, <tex> K(v) </tex> - — количество вершин в поддерева поддереве, корнем которого является <tex> v </tex> .

<tex> R(P(v))>R(v) </tex>

Из того как работает функция принципа работы функции <tex> get </tex> следует:1.#<tex> R(L(v))>R(v) </tex>. 2. #Между <tex> v </tex> и <tex> P(v) </tex> существует путь вида : <tex> v -> \rightarrow L(v) -> \rightarrow L(L(v)) -> ... ->\rightarrow \dots \rightarrow P(v) </tex>.Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта следует что <tex> R(P(v))>R(v) </tex> , получаем требуемое.

<tex> R(v)=i => \Rightarrow K(v) \ge 2^i </tex>

 Для 0 равенство очевидноеочевидно.Ранг вершины стает станет равным <tex> i </tex> при сливании объединении поддеревьев ранга <tex>i-1</tex>, отсюда следуетследовательно:<tex>K(v)>=\ge K(v1v_1)+K(v2v_2) \ge 2^{i-1}+2^{i-1} \ge 2^i </tex>.

Из второго утверждения следует: 1. #<tex> R(v)<= \le \log_2(n) </tex>. 2. #Количество вершин ранга <tex> i <= \le {n \over 2^i} </tex>.

Амортизационная стоимость <tex> get = O(\log^{*}(n)) </tex>

Рассмотрим некоторое число <tex> x </tex> .

1.#Ведут в корень или в сына корня.#<tex> R(P(v)) \ge x^{R(v)}</tex>.#Все остальные. Обозначим эти классы <tex> T_1, T_2, T_3 </tex>. Амортизационная стоимость

2.<center><tex> R(PS = {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1}+{\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits 1} + {\sum_{v: \in get,v\in T_3} \limits 1} ))/ m </tex>,</center>где <tex>=x^ {R(v)\in get }</tex>означает, что ребро, начало которого находится в <tex> v </tex>, было пройдено во время выполнения текущего <tex> get </tex>. Ребро <tex> v </tex> эквивалентно вершине, в которой оно начинается.

Обозначим эти классы <texcenter> T1,T2,T3 </tex>Амортизированная стоимость<tex> S= O(1) + {\sum_{get} \limits} (~ {\sum_{u v:v \in get,u v \in T1T_2} \limits } 1} /m+ {\sum_{u \in get,u \in T2} \limits 1} + ~ {\sum_{u v:v \in get,u v \in T3T_3} \limits } 1} ) / m </tex> , где <tex> {u \in get } .</tex> означает что ребро <texcenter> u </tex> было пройдено во время выполнения текущего <tex> get </tex> .

В силу того что Во время <tex>{\sum_{u \in get,u \in T1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем после прохождения K ребер из второго класса <tex> S = OR(1v_1) + \ge x^{\sum_x^{.^{.^{get} \limits}( .^{\sum_x^{u \in get,u \in T2R(v)} \limits} 1)/m+ {\sum_{get} \limits} ( {\sum_{u \in get,u \in T3} \limits} 1)/m </tex> .

После K ребер из Из выше сказанного и первого следствия второго класса утверждения получаем, что:<center><tex> R{\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} \le \log^*_x(\log_2(v1n) ) = O(\ge x^{x^{.^{.^{.^{xlog^{R*(vn))}}}}}} </tex>.</center>

Из выше сказанного и первого следствия второй леммы получаем что Для того, чтобы <tex> {\sum_{u \in get,u \in T2} \limits} = log^*_x(\log_2(n)) = O(log^*(n)) </tex> . Для того чтоб <tex> log^*_x </tex> существовал необходимо , чтобы <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,44 </tex>.

Рассмотрим сумму<center> <tex>{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1~/m < {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n </tex>. </center> Из первого утверждения и в силу использования сжатия путей следует,что <tex> R(P(x))</tex> cтрого увеличивается при переходе по ребру из <tex> T_3 </tex>. Как максимум через <tex> x^{R(k) } </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе Т3<tex> T_3 </tex>. <center><tex> ( {\sum_{get} \limits} ( ~ {\sum_{u v:v \in get,u v \in T3T_3} \limits} 1)/n< = {\sum_u sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ u v \in T3T_3} \limits } 1/n \le \sum_v \limits x^{R(v)} /n</tex>.</center> Из второго следствия второго утверждения следует:<center> <tex> {\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n \le \sum_{Rank=0}^{\log_2(n)} \limits {nx^{Rank} \over 2^{Rank} n}</tex>.</center> При <tex> x < 2~</tex>:<center><tex>{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n\le\sum_{Rank=0}^{\log_2(n)} \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}\le\sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}\le{ 2 \over 2-x } = O(1)</tex> .</center>   Итак <tex> S = O(1) + O(\log^*(x)) + O(1) = O(\log^*(x)) </tex>.В силу того, что интервал <tex> (1,45...2) </tex> не пустой, теорема доказана.