Изменения
→Относительная оценка
Тогда:
<tex>{P} (X \geqslant (1 + \delta)m) \leqslant e^{m(\delta - (1 + \delta)\ln(1 + \delta))} \leqslant e^{- \frac{\delta^2}{2 + \delta}m }</tex>, для <tex>\delta > 0</tex>
<tex>{P} (X \leqslant (1 - \delta)m) \leqslant e^{- \frac{\delta^2}{2}m }</tex>, для <tex>0 < \delta < 1</tex>
| proof =
По [[Неравенство Маркова| неравенству Маркова]]:
<tex>{P}(x X \geqslant a) =</tex> <tex>{P}(e^x {tX} \geqslant e^a{ta}) \leqslant </tex> <tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^a{ta}}</tex>
Воспользуемся [[#lemma1|леммой о производящей функции моментов суммы случайных величин ]] и [[#lemma2|леммой об ограниченности производящей функции моментов]]:
<tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^a{ta}} \leqslant</tex> <tex>\dfrac{\prod\limits_{i = 1}^{n}e^{p(e^t - 1)}}{e^{ata}} =</tex> <tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limits_{i = 1}^{n}p}}{e^{ata}}</tex>
Заметим, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} p = m</tex>, кроме того <tex>a = (1 + \delta)m</tex> (по замене).
<tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limits_{i = 1}^{n}p}}{e^{ata}} = </tex> <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex>
Функция <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex> принимает своё минимальное значение в точке <tex>t = \ln (1 + \delta)</tex>
