Изменения
Нет описания правки
# При симуляции $random(n)$ с помощью бросков честной монеты (или абстракции вероятностной ленты) математическое ожидание времени работы $random(n)$ равно $O(\log n)$, но нет ограничения сверху на число бросков. Кажется, что это может испортить определение классов $RP$ или $BPP$, потому что в них время работы программы должно быть ограничено сверху. Докажите, что это не так и можно разрешить конструкции $random(n)$ в вероятностных программах из определения $RP$ или $BPP$, даже если на самом деле в модели вычислений есть доступ к источнику случайности только с распределением честной монеты.
# Нечестные монеты с нерациональным $p$ могут привести к парадоксам. Докажите, что существует такое $p$, такой неразрешимый язык $L$ и такая программа $A$, что если у программы $A$ есть доступ к источнику случайности с распределением нечестной монеты с вероятностью выпадения $1$ равной $p$, то она может распознать язык $L$ за полиномиальное время.
# Полные языки для $BPP$. Будем называть $A\in BPP$ язык полным для $BPP$, если для любого языка $B \in BPP$ выполнено $B \le A$. Петя предполагает, что язык $BH_{1DP} = \{\langle p, x, 1^t \rangle\}$, где $p$ — вероятностная программа, допускающая $x$ за время $t$ с вероятностью не меньше $2/3$ является полным для $BPP$. Прав ли Петя?
# Вероятностные сведения. Будем говорить, что $B$ вероятностно сводится к $C$ и писать $B \le_r C$, если найдется такая вероятностная программа $p$, работающая за полином, что $P([x \in B] = [p(x) \in C]) \ge 2/3$. Докажите, что если $C \in BPP$, $B \le_r C$, то $B \in BPP$.
# Докажите, что $\le_r$ не является транзитивным отношением.
# Класс $BP\cdot NP$ определяется как множество $\{A | A \le_r 3SAT\}$. Докажите, что $NP \subset BP\cdot NP$.
# Докажите, что $BPP \subset BP\cdot NP$.
# Докажите, что если $\overline{3SAT} \subset BP\cdot NP$, то $PH = \Sigma_3$.
# Определим класс $BPL$ как класс языков $L$, для которых найдется вероятностная программа $M$, использующая $O(\log n)$ дополнительной памяти, такая что если $P(M(x) = [x \in L]) \ge 2/3$. Докажите, что $BPL \subset P$.
