18
правок
Изменения
м
Используем леммуПервая дробь: <tex>k = 1,\, q = -1</tex>, вторая: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>, третья: <tex>k = 2,\, q = 2</tex>, четвертая: <tex>k = 1,\, q = 1</tex>.
первая дробь: <tex>k = 1,\, q = -1</tex>, вторая: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>, третья: <tex>k = 2Тогда,\используя лемму, q = 2</tex>, четвертая: <tex>k = 1,\, q = 1</tex>получаем, тогда что <tex>a_{n} = \dfrac{(-1)^n}{18} - \dfrac{8}{9} \cdot 2^n + \dfrac{n + 1}{(2 - 1)!} \cdot 2^n + \dfrac{1}{2}\cdot 1^n = \left(n + \dfrac{1}{9}\right) \cdot 2^n + (-1)^{n}\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{2}</tex>.
Добавил точки, привел решение второй задачи к формату первой
== Примеры применения теоремы ==
{{Задача
|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}</tex>.
}}
Разобьем дробь на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}=\dfrac{1/5}{1 + 3s} + \dfrac{4/5}{1 - 2s}</tex>.
Воспользуемся результатом [[#lemma1|леммы]]: коэффициент при <tex>s^n</tex> равен <tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n}</tex>.
Тогда <tex>a_{n} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (-3)^{n} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (2)^{n} =
\dfrac{(-3)^{n}}{5} + \dfrac{4}{5} \cdot 2^{n} </tex>.
{{Задача
|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)}</tex>.
}}
Разобьем на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)} = \dfrac{1/18}{1 + s} + \dfrac{-8/9}{1 - 2s} + \dfrac{1/3}{(1 - 2s)^2} + \dfrac{1/2}{1 - s}</tex>.
== См. также ==
