Изменения
Нет описания правки
[[Категория:Математический анализ 1 курс]][[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]
==Определения==
{{Определение
|definition=
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
}}
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
==== Описание ====
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
<tex> A = \{a: \mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.
== Отношения между множествами ==
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.
==== Включение ====
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> :
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>
==== Равенство ====
* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>
== Специальные множества ==
{{Определение
|definition=
''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\varnothing</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> \ \displaystyle \mathbb {U}</tex>.
}}
== Операции над множествами ==
Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>.
Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.
Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>
Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\forall \alpha</tex> <tex>: \ x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>\Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>\Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
}}
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \implies Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
