Изменения
Нет описания правки
# Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую непустую двоичную строку длиной не больше $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на один символ?
# Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую двоичную строку длиной от 2 до $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на два символа?
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Докажите, что $g_{i \oplus j} = g_i \oplus g_j$.
# Выведите формулу, которая по кодовому слову возвращает его позицию в зеркальном коде Грея (аналог формулы из задания 128)
# Разработайте код Грея для $k$-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Сколько существует векторов длины $n + 1$, содержащих каждое число от $1$ до $n$ хотя бы по одному разу?
# Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Докажите, что существует способ упорядочить все двоичные вектора длины $n$, чтобы любые два соседних отличались в не более, чем двух позициях, а количество единиц в $i$-м векторе не превосходило количество единиц в $j$-м векторе при $i < j$.
