Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>B = \{0, 1\}</tex> — булевое множество. Рассмотрим <tex>B^n</tex> и [[Расстояние Хэмминга#def1|расстояние Хемминга]] <tex>H(x,y)</tex>. Пусть <tex>c:\Sigma \to B^n</tex> {{---}} разделяемый код постоянной длины. Обозначим <tex>\min\limits_{\substack{x, y\in \Sigma \\ x\neq y}}H(c(x), c(y)) = d(c)</tex>.
Допустим, <tex>x, y</tex> такие, что <tex>x \neq y</tex> и <tex>S(c(x), k) \cap S(c(y), k)\neq \emptyset</tex>, т.е существует <tex>z</tex>, такой что <tex>H(c(x), z) \leqslant k</tex> и <tex>H(c(y), z) \leqslant k</tex>. Тогда по неравенству треугольника <tex>H(c(x), c(y)) \leqslant 2k</tex>. Это противоречит тому, что <tex>d(c)>2k</tex>.
}}
== Определение и устранение ошибок в общем случае ==
Пусть <tex>\Sigma</tex> — исходный алфавит, <tex>C: \Sigma \to B^m</tex> — кодирование, <tex>B=(0,1)</tex>
<tex>d: B^m \times B^m \to \mathbb{R}</tex> — [[расстояние Хэмминга]] между двумя кодами. <br>
Тогда легко понять, что код, полученный преобразованием <tex>C</tex> может исправлять <math>~[</math><tex dpi = 150> {d_0-1}\over{2}</tex><math>~]</math> и обнаруживать <tex>[d_0-1]</tex> ошибок. Действительно, при любом натуральном количестве допустимых ошибок <tex>r</tex> любой код <tex>S</tex> образует вокруг себя проколотый шар таких строк <tex>S_i</tex>, что <tex>0<d(S,S_i)\leqslant r</tex>. Если этот шар не содержит других кодов (что выполняется при <tex>r<d_0</tex>) , то можно утверждать, что если в него попадает строка, то она ошибочна. Аналогично можно утверждать, что если шары всех кодов не пересекаются (что выполняется при <tex dpi = 150>r \leqslant {{d_0-1}\over{2}} </tex>), то попавшую в шар строку <tex>S_i</tex> можно считать ошибочной и тождественно исправить на центр шара — строку <tex>S</tex>.<br>
[[Файл:Ham.png|350px]]
== Граница Хэмминга, граница Гильберта ==
