Изменения
Новая страница: «== Определение и примеры == Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство над полем <tex>\mathbb R</tex>. Ото…»
== Определение и примеры ==
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство над полем <tex>\mathbb R</tex>. Отображение <tex>
\varphi \colon X \to \mathbb R</tex> называется нормой, если:
* <tex>\varphi(x) \ge 0</tex>, <tex>\varphi(x) = 0 \iff x = 0</tex> (положительная определённость)
* <tex>\varphi(\alpha x) = |\alpha| \cdot \varphi(x)</tex>, <tex>\alpha \in \mathbb R</tex> (однородность)
* <tex>\varphi(x + y) \le \varphi(x) + \varphi(y)</tex> (неравенство треугольника)
Для нормы применяют следующее обозначение: <tex>\|x\| = \varphi(x)</tex>.
Приведём примеры норм для различных множеств:
* <tex>X = \mathbb R</tex>, <tex>\|x\| = |x|</tex>
* <tex>X = \mathbb R^n</tex>, <tex>\|\overline x\| = \sqrt{ \sum\limits_{k = 1}^n x_k^2 }</tex>. Неравенство треугольника для нормы — неравенство Коши для сумм.
* На <tex>\mathbb R^n</tex> можно определить также другие нормы, например <tex>\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|</tex> или <tex>\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}</tex>
Нормированным пространством обычно называют пару из линейного пространства и нормы на нём.
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство над полем <tex>\mathbb R</tex>. Отображение <tex>
\varphi \colon X \to \mathbb R</tex> называется нормой, если:
* <tex>\varphi(x) \ge 0</tex>, <tex>\varphi(x) = 0 \iff x = 0</tex> (положительная определённость)
* <tex>\varphi(\alpha x) = |\alpha| \cdot \varphi(x)</tex>, <tex>\alpha \in \mathbb R</tex> (однородность)
* <tex>\varphi(x + y) \le \varphi(x) + \varphi(y)</tex> (неравенство треугольника)
Для нормы применяют следующее обозначение: <tex>\|x\| = \varphi(x)</tex>.
Приведём примеры норм для различных множеств:
* <tex>X = \mathbb R</tex>, <tex>\|x\| = |x|</tex>
* <tex>X = \mathbb R^n</tex>, <tex>\|\overline x\| = \sqrt{ \sum\limits_{k = 1}^n x_k^2 }</tex>. Неравенство треугольника для нормы — неравенство Коши для сумм.
* На <tex>\mathbb R^n</tex> можно определить также другие нормы, например <tex>\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|</tex> или <tex>\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}</tex>
Нормированным пространством обычно называют пару из линейного пространства и нормы на нём.
