Изменения

Рассмотрим \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac1{n!} x^n : \frac{a_n}{a_{n + 1}} = n + 1 \to +\infty \Rightarrow R = +\infty \Rightarrow у ряда есть сумма, которую обозначают f(x).Далее, f(x), f(y) - пермножим перемножим степенные ряды по правилу Коши. \sum\limits\{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \dot \sum\limits\{n = 0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} n-й член \sum\limits_{k = 0}^n \frac{x^k}{k!} \frac{y^{n - k}}{(n - k)!} = \frac1{n!} \sum\limits_{k = 0}^n C^k_n x^k y^{n - k} = \frac1{n!} (x + y)^n; f(x) f(y) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac1{n!} (x + y)^n = f(x + y) f(1) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac1{n!}. Но: <tex> (1 + \frac1n)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!} \underbrace{(1 - \frac0n)}_{\ge 0} \underbrace{(1 - \frac1n)}_{\ge 0} \dots \underbrace{(1 - \frac{k - 1}n)}_{\ge 0} </tex>