315
правок
Изменения
создал статью
{{В разработке}}<br>
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~A\colon X \to Y</tex>. <tex>A</tex> называется линейным оператором, если <tex>A \left ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha A \left ( x \right )+\beta A \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}
Из того факта, что <tex>A \left ( \alpha x \right )=\alpha A \left ( x \right )</tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb {R}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br>
{{Определение
|definition=
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }}
Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>
{{Определение
|definition=
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( x+mathcal{4}x \right )=A\left (x \right ) </tex> }}
В силу линейности непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br>
<tex> \vartriangleright </tex> Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( \mathcal{4}x \right )=A\left (0 \right )=0</tex><br>
<tex> \left \| A \left ( x + \mathcal{4} x) \right ) - A \left ( x \right ) \right \| = \left \| A \left (x \right)+ A \left ( \mathcal{4}x \right)-A \left (x \right )\right \| = \left \| A \left ( \mathcal{4}x \right )\right \| \xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex><br>
<tex>A \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A \left ( x \right ) \vartriangleleft</tex>
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~A\colon X \to Y</tex>. <tex>A</tex> называется линейным оператором, если <tex>A \left ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha A \left ( x \right )+\beta A \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}
Из того факта, что <tex>A \left ( \alpha x \right )=\alpha A \left ( x \right )</tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb {R}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br>
{{Определение
|definition=
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }}
Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>
{{Определение
|definition=
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( x+mathcal{4}x \right )=A\left (x \right ) </tex> }}
В силу линейности непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br>
<tex> \vartriangleright </tex> Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( \mathcal{4}x \right )=A\left (0 \right )=0</tex><br>
<tex> \left \| A \left ( x + \mathcal{4} x) \right ) - A \left ( x \right ) \right \| = \left \| A \left (x \right)+ A \left ( \mathcal{4}x \right)-A \left (x \right )\right \| = \left \| A \left ( \mathcal{4}x \right )\right \| \xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex><br>
<tex>A \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A \left ( x \right ) \vartriangleleft</tex>
