Изменения
Нет описания правки
# Игра в поддавки: кто не может сделать ход, тот выигрывает. Предъявите пример суммы двух проигрышных игр в поддавки, которая является выигрышной.
# Ним в поддавки. Докажите, что за исключением случая, когда все кучки имеют размер $1$, позиция в ниме в поддавки является выигрышной тогда и только тогда, когда она является выигрышной в обычном ниме.
# В этой серии только четкие игры. Немного арифметики. Постройте красно-синий бамбук Хакенбуш для игры со значением $3/4$. Докажите, что $3/4+3/4+3/4+3/4=3$.
# Постройте красно-синий бамбук Хакенбуш для игры со значением $1/3$. Докажите, что $1/3+1/3+1/3=3$.
# Постройте красно-синий бамбук Хакенбуш для игры со значением $1/4$. Докажите, что $1/4+3/4=1$.
# Одноцветный Хакенбуш. Докажите, что если компонента в Хакенбуше имеет только синие ребра, то значение этой игры равно количеству ребер вне зависимости от структуры графа.
# Докажите, что если $A=\{L|R\}$, где для всех $a_L \in L$, $a_R \in R$ выполнено $a_L < a_R$, то для всех $a_L \in L$, $a_R \in R$ выполнено $a_L < A < a_R$.
# Разрезание пирога. Есть прямоугольный клетчатый пирог, высота $m$, ширина $n$. Своим ходом L может разрезать пирог горизонтальным разрезом по границам квадратиков, а R - вертикальным разрезом по границам квадратиков. Игра продолжается на нескольких пирогах. Кто не может ходить, проигрывает. Чему равно значение игры на пироге $1\times n$? $m\times 1$?
# Чему равно значение игры в разрезание пирога для пирога $m \times n$?
# Разрезание пирога 2.0. Теперь L разрезает пирог горизонтальным разрезом по границам квадратиков на любое число равных частей. Аналогично поступает R, но вертикальным разрезом. Проанализируйте эту игру.
# Для определения произведения игр с лекции докажите ассоциативность и коммутативность.
# Докажите, что $a\cdot 1=a$.
# Докажите, что $a\cdot 0=0$.
# Докажите, что $a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$.
# Докажите, что для целых чисел $a\cdot b = (ab)$.
# Докажите, что для целого положительного $k$ выполнено $a\cdot k = a+a+\ldots+a$ (сумма $k$ слагаемых)
# Докажите распределительный закон $(a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c$.
# Докажите, что для любого $a$ существует игра $a^{-1}$. Тем самым класс $No$ наделен структурой поля.
# Чему равно $\omega\cdot k$ для целого $k$?
# Постройте игру $1/\omega$.
# Постройте игру $\sqrt{\omega}$.
