Изменения
Нет описания правки
# То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
# Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
# Петя хочет решить уравнение в регулярных выражениях $L=\alpha L\xi+\beta$, где $\alpha$, $\beta$ и $\xi$ — регулярные выражения, а $L$ — неизвестный язык. Всегда ли решение будет регулярным языком?
# В этом и последующих заданиях регулярный язык подается на вход вашему алгоритму как ДКА, распознающий этот язык. Предложите алгоритм проверки того, что регулярный язык бесконечен.
# Предложите алгоритм подсчёта числа слов в регулярном языке (если язык бесконечен, алгоритм должен выдать информацию, что он бесконечен). Алгоритм должен работать за полином от числа состояний в автомате.
# Предложите алгоритм проверки того, что регулярный язык является беспрефиксным.
# Предложите алгоритм проверки того, что один регулярный язык является подмножеством другого.
# Предложите алгоритм проверки того, что регулярные языки не пересекаются.
# Предложите алгоритм проверки того, что объединение двух заданных регулярных языков совпадет с некоторым третьим заданным.
# Приведите пример регулярного языка и двух неизоморфных недетерминированных автоматов для него, которые при этом имеют минимальное число состояний среди всех недетерминированных автоматов для этого языка.
# Из алгоритма построения множества различимых состояний следует, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n^2)$. Докажите, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
# Правые контексты. Правым контекстом слова $x$ в языке $A$ называется множество $R_A(x)$ таких слов $y$, что $xy \in A$. Рассмотрим правые контексты всех слов $x \in \Sigma^*$. Докажите, что если число различных правых контекстов конечно, то язык $A$ является регулярным.
# Докажите, что если число различных правых контекстов бесконечно, то язык $A$ является нерегулярным.
# Докажите, что для регулярного языка $A$ число различных правых контекстов равно числу состояний минимального ДКА для этого языка.
# Левые контексты. Левым контекстом слова $x$ в языке $A$ называется множество $L_A(x)$ таких слов $y$, что $yx \in A$. Докажите, что язык $A$ регулярный тогда и только тогда, когда его множество левых контектов конечно.
# Пусть язык $A$ регулярен и распознается ДКА с $n$ состояниями. Оцените сверху число различных левых контекстов в языке $A$.
# Рассмотрим отношение на словах $L$: $x \equiv y$, если для любых $u$, $v$ выполнено $uxv \in L \Leftrightarrow uyv \in L$. Классы эквивалентности этого отношения называются синтаксическим моноидом языка $L$. Докажите, что если $L$ регулярный и его ДКА содержит $n$ состояний, то синтаксический моноид $L$ конечен и содержит не более $n^n$ классов эквивалентности.
# Придумайте последовательность регулярных языков $L_i$, у которых ДКА для $L_i$ содержит $O(i)$ состояний, а синтаксический моноид $L_i$ имеет неполиномиальный размер.
# Вспомните/узнайте определение моноида. Почему конструкция из задания 186 названа моноидом? Опишите для нее группоидную операцию.
