Изменения

{{В разработке}}[[Нормированные пространства|<br<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]]

Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A \left } ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha \mathcal{A } \left ( x \right )+\beta \mathcal{A } \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}Из того факта, что <tex>\mathcal{A } \left ( \alpha x \right )=\alpha \mathcal{A } \left ( x \right )\forall \alpha \in \mathbb {R} </tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb mathcal{RA}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br> 

Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} , m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A } \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }}Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>

Л.о. непрерывен в Xточке <tex>x</tex>, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A } \left ( x+\mathcal{4}Delta x \right )=\mathcal{A} \left (x \right ) </tex> }}В силу линейности непрерывность Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора: {{Лемма|statement=Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br><tex> \vartriangleright </tex> |proof=Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right )=\mathcal{A} \left (0 \right )=0</tex><br> <tex> \left \| \mathcal{A \left }( x + \mathcal{4} Delta x) - \right ) - mathcal{A \left }( x \right ) \right \| = \left \| \mathcal{A } \left (x \right)+ \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right)-\mathcal{A } \left (x \right )\right \| = \left \| \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right )\right \| \xrightarrow {[\mathcal{4}Delta x \to 0]{} 0 </tex><br> Значит, <tex>\mathcal{A } \left ( x + \mathcal{4} Delta x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}Delta x \to 0]{} \mathcal{A \left }( x \right ) </tex>, и <tex> \vartriangleleftmathcal{A} </tex>непрерывен в <tex> x <br/tex>по определению.}} 

Л.о. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.|proof=# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>.#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.}} {{Определение|definition=Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.}} При <tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex>, имеем<tex>\left \| \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|</tex> <tex>\mathcal{A}z = \frac {\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex> Норма оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы:# <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A} \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A} = 0</tex># <tex>\left \| \alpha \mathcal{A} \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A} \right \|</tex># <tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex>Докажем свойство 3: {{Утверждение|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex>|proof=Рассмотрим <tex>x</tex>, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1</tex>. <tex> \left \| \left ( \mathcal{A} + \mathcal{B} \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|\mathcal{A}x \right \| + \left \| \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|, \forall x \le 1 </tex>}} <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z</tex> <tex>\mathcal{B} \circ \mathcal{A} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \colon X \to Z, \left ( \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B} \left ( \mathcal{A} \left ( x \right ) \right )</tex> <tex>\left \| \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B} \right \| \cdot \left \| \mathcal{A} \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|^n</tex> {{Утверждение|statement=<tex>\|\mathcal{BA}\| \leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\| </tex>|proof=<tex>\forall x : \|x\| < 1 : \|\mathcal{BA}x\| = \mathcal{B}(\mathcal{A}x) </tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}\| \cdot \|x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\|</tex>}} Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай: <tex>\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} \left (\overline {x} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) </tex> Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>\mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>. <tex>\mathcal{A} \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex> {{Утверждение|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>

1) A — ограничен, значит, <tex> \left overline y = \| mathcal{A } \left ( overline x , y_j = \right ) sum \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex>— здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\left \| mathcal{A } \left ( colon \mathcal mathbb{4R} x ^n \right ) to \right \| \le mathbb{R}^m \left \| longleftrightarrow \mathcal {4A} x \right \|.~ A = \left ( \mathcal a_{4jk} x \right )\xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex> А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и на X.2) A — непрерывен на X<tex>m</tex> соответственно, а <tex> 0 = \lim \limits_mathcal{x \to 0A} A \left ( overline x \right )</tex>— результат действия л.о. <brtex>\mathcal{A}</tex>\varepsilon = 1: \exists \delta на точку <tex> 0: \left \| overline x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{4A}</tex> и столбца <tex>x </tex>. В <tex>\to 0mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | A \le \sum \limits_{k=1}^m \left ( x | a_{jk} \right ) | \left | x_k \right \| \le \varepsilon sqrt {\sum \limits_{k= 1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex><br>(по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\forall overline x \ne to 0</tex> рассмотрим неизбежно следует <tex>z = \frac{sum \delta}limits_{2k=1} \frac ^m a_{xjk}{x_k \left \| x \right \|}to 0</tex> Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.~  Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: <tex>\left \| z \overline y \right \| = \fracsqrt{\deltasum \limits_{j=1}^m y^{2} _j} </tex> < tex> y^{2}_j \le \deltaleft ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex><br>. <tex>\left \| A \left ( z \right ) overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1.~A }^m \left ( z \right ) = sum \frac limits_{\deltak=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|} A \left ( x \right )^2</tex> <tex>A \left ( z \right ) = | \frac mathcal{\deltaA}{2 \left \| overline x \right \|\le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| Ax \overline x \right \| \le 1</tex>, таким  Таким образом, финальная оценка — <tex>Ax \left \| \mathcal{A} \right \| \le \frac sqrt{2 \left sum \| x limits_{k=1}^n \right sum \|limits_{j=1}^m a_{\deltajk}^2}</tex><br>Очевидно. Но, в общем случае, это верно и для <tex>x=0</tex>эта оценка достаточно грубая.

Нормой ограниченного оператора '''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex>\left \| A \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_mathcal{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|</tex>.}}<tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex><br><tex>\left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|</tex><br><tex>Az = \frac {Ax}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| Ax \right \| \le \left \| A \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex><br><br><tex>\left \| A \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br>1) <tex>\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A = 0</tex><br>2) <tex>\left \| \alpha A \right \| = \left | \alpha \right | \left \| A \right \|</tex><br>3) <tex>\left \| A + B \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|</tex><br><br>Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Примеры:<br><br>Рассмотрим x, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 </tex><br><tex>~A\colon X \to Y, ~BH \colon Y \to Z</tex><br><tex>B \circ A = B \cdot A \colon X \to Z, \left ( BA \right ) \left ( x \right ) = B \left ( A \left ( x \right ) \right )</tex><br><tex>\left \| BA \right \| \le \left \| B \right \| \cdot \left \| A \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| A^n \right \| \le \left \| A \right \|^n</tex><br><br>Рассмотрим частный случай:<br><tex>A\colon \mathbb{R}^n \to rightarrow \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb R, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда , где <tex>A \left (\overline {x_k} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k A \left ( \overline {e_k} \right ) H </tex><br>Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное - гильбертово пространство, <tex>A \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.<br><tex>A \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_ {jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{jТеорема|statement=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex><br>Для любого <tex>x_0 \overline y = A \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_kin H </tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: существует ограниченный линейный функционал <tex>A f \colon \mathbb{R}^n H \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow A = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>n</tex> до <tex>m</tex> соответственно, а <tex>A \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>A</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>A</tex> и столбца <tex>x</tex>.<br>обладающий такими свойствами:В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. # <tex>f \left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k ( x_0 \right | \le \sum \limits_{k) =1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x x_0 \right \|</tex>, таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex><br>Дальше, если верить моему конспекту, говорится, что, таким образом, линейный оператор, действующий из <tex>\mathbb{R}^n</tex> и/или в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, всегда непрерывен.<br>Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: # <tex>\left \| \overline y f \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j},~ y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex><br><tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{kproof=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|</tex><br>Для <tex>\left \| A \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{kx_0 =1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|0 </tex>подойдет любой линейный функционал, итакой, таким образом, финальная оценка — что <tex>\left \| A \right f\| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.<br>Если Л.О. действует из Н.П. X в поэтому рассмотрим <tex>x_0 \mathbb{R}^nne 0 </tex>, он называется линейным функционалом.<br> Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство (H — гильбертово). Фиксируем <tex>y \in H</tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. <tex>f </tex> — линейный функционал.  По неравенству Шварца , <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>.<br> <tex>\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>.  Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex><br>. Как раз это нам и нужно. }} {{Утверждение|statement=<tex>\forall ~x_0 x \ne y\in H~ \exists </tex> ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H mathcal{A} : \mathcal{A}x \to ne \mathbbmathcal{RA}y</tex>, обладающий такими свойствами:|about=Разделение точек|proof=Рассмотрим <tex>x-y<br/tex>1) . <tex>f \left exists \mathcal{A} : \mathcal{A}( x_0 \right x - y) = \left | x- y\| x_0 </tex>. По линейности, <tex>\mathcal{A}(x - y) = \right mathcal{A}x - \|mathcal{A}y</tex>. Значит, 2) <tex>\left mathcal{A}x \| f ne \right \| = 1mathcal{A}y</tex>.}} [[Нормированные пространства|<<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]][[Категория:Математический анализ 1 курс]]