Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.
}}
Базируясь на соотношениях конечных приращений, установим достаточное условие для дифференцируемости функций многих переменных.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n, \quad y = f(x_1,...,x_n), \quad y : V \to \mathbb{R}</tex>
<tex>\forall x \in V \quad \exists \frac{\delta f}{\delta x_j}</tex>, каждая из которых, как функция переменных <tex>n</tex> переменных непрерывна в <tex>\overline{a} \quad \lim\limits{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})
= \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a})</tex>. Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
|proof=
<tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex>
<tex>\overline{x}(t) = \overline{a} + \Delta\overline{a}t, \quad t \in [0, 1], \quad \overline{x}(t) \in V</tex>
Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее :
<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
<tex dpi = "140">\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{a} + \alpha_j(\Delta\overline{a})</tex>, все <tex>\alpha_j \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex>
<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>
Нужно доказать, что вторая сумма - <tex>o(\Delta a)</tex>, ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм :
<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}||\Delta \overline{a}_j||</tex>
Выражение под корнем стремится к нулю, таким образом, получаем требуемое.
}}
