1679
правок
Изменения
м
→Пункт 2. Коммутируемость суммы и интеграла: учить tex!!111
== Пункт 2. Коммутируемость суммы и интеграла ==
В этом пункте будет приведено условие при котором можно записать :
<tex>
Заметим, что для суммы конечного числа слагаемых это утверждение верно по линейности интеграла.
{{Теорема
|statement= <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f, f_{n} \in \mathcal{R}\left [a,b \right ] \Rightarrow
f \in \mathcal{R}\left [a,b \right ] и \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>
|proof=
1) Прежде всего установим интегрируемость <tex>f</tex>. Для этого необходимо проверить
<tex>w(f, \tau) \longrightarrow to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang } \tau \to 0</tex>
По определению, <tex>w(g, [c, d]) = \sup\limits_{x',x'' \in [c,d]} |g(x'') - g(x')|</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex> , что следует из равномерной сходимости.
<tex>\forall \tau : a = x_0 < x_1 < ... \dots < x_p = b \quad \forall x', x'' \in [x_k, x_{k+1}] : \quad \ : |f(x'') - f(x')| <= \le |f_n(x'') - f_n(x')| + |f_n(x'')-f(x'')| + |f_n(x')-f(x')| \quad \forall n > N</tex>
В этом случае по выбору <tex>N</tex>, можно написать :
<tex>|f(x'')-f(x')| <= \le |f_n(x'')-f_n(x')| + 2\varepsilon</tex>
<tex>|f_n(x'')-f_n(x')| <= \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}])</tex>
<tex>|f(x'')-f(x') <= | \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>
В этом неравенстве справа число, переменная есть только слева, поэтому можно перейти к <tex>\sup</tex> по <tex>x', x''</tex>, что
приводит к неравенству :
<tex>w(f, [x_k, x_{k+1}]) <= \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>. Это неравенство верно для любого текущего отрезка, лишь бы
выполнялось, что <tex>n > N</tex>. Домножим каждое на <tex>\Delta x_k</tex> и сложим :
<tex>w(f, \tau) <= \le w(f_{n}, \tau) + 2\varepsilon \underbrace{\sum\limits_{k = 1}^{n - 1}\Delta x_k = w(f, \tau) <= w(f_}_{n}, \tau) + 2\varepsilon(b-a)} </tex>
Подставив в это неравенство <tex>n_0 = N+1</tex>, получим :
<tex>w(f, \tau) <= \le w(f_{n_0}, \tau) + 2(b -a)\varepsilon</tex>, функция <tex>f_{n_0} \in \mathcal{R}\left( a, b \right)</tex>.
Неравенство выполняется для любого <tex>\tau</tex>, значит для уже существующего <tex>\varepsilon ~~ \exists \delta > 0 :
\operatorname{rang } \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь <tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang } \tau \to 0</tex>. Значит,
<tex>f \in \mathcal{R}\left ( a, b \right)</tex>
Все функции интегрируемы, в силу этого можно писать следующее :
<tex>|\int\limits_{a}^{b} f_n (x) dx - \int\limits_{a}^{b} f(x) dx| = |\int\limitslimits_{a}^{b} (f_n (x) - f(x))dx| <= \le \int\limits_{a}^{b} |f_n (x) - f(x)| <= dx \le
(b-a)\varepsilon</tex>
Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \Rightarrow |\int\limits_{a}^{b} f_n (x) dx - \int\limits_{a}^{b} f(x) dx| <= \le (b -a)\varepsilon</tex>.
По определению предела приходим к нужному.
}}
{{Утверждение
|statement =
