1679
правок
Изменения
до понятия ряда Фурье.
Придерживаясь идеологии представленного доказательства, можно доказать полноту <tex>C[a; b]</tex>.
<wikitex>
$ |x_{n + p}(t) - x_n(t)| \le \max_{s \in [a; b]} |x_{n + p}(s) - x_n(s)| = \| x_{n + p} - x_n \| $
Пространство Гильберта имеет важное понятие ортонормированной системы точек:
$ l_1, \dots, l_n, \dots \in H $
# $ \| l_n \| = 1 $
# $ l_n \bot l_m, (l_n, l_m) = 0\ \forall n, m: n \ne m $
$ \{l_n, n \in N \} $ - линейно независима.
В $ \mathbb{R}^n $, в котором система размера $ n + 1 $ - линейно зависима, ОНС может состоять из n точек.
$ l_n = (\underbrace{0, \dots, 0}_n, 1, \dots) $ - ОНС, в этом смысле $ l_2 $ - бесконечномерно.
Заметим, что если взять $ n \ne m $ и составить норму разности $ \| l_n - l_m \|^2 = 2 $:
$ \overline{V}_{10}(o) = \{ x \in l_2: \| x \| \le 10 \} $, все $l_n$ принадлежат этому шару. Но в силу того, что $ \| l_n - l_m \| \le \sqrt2 $, то из такой последовательности невозможно выделить сходящуюся и такой шар некомпактен в $ l_2 $.
Итого, любой шар в $ l_2 $ - некомпактен.
В $ \mathbb{R}^n $ - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа).
Остутсвие в $l_2$ компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуации.
''КАРТИНОЧКА''
Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( $R = \frac{\sqrt2}{10} $) и он не развалится.
$ l_1, \dots, l_n, \dots $ - ОНС в H(гильбертово).
$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k $ - т.н. "ортогональный ряд".
$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k $ является ортогональным??, если $ \forall n \ne m \Rightarrow (e_n, e_m) = 0 $.
{{Теорема
|statement=
$\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k $ - сходящийся ортогональный ряд $ \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty $.
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: $ \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 $
|proof=
$ \delta_n = \sum\limits_{k = 1}^n x_k $.
Замечаем, что: $ { \left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| } ^2 = \left( \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k, \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right) = \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 $. Отсюда, если ряд сходится, то $ \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \to 0 $, а по последней формуле, к нулю начнут стремиться $ \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 $, и по критерию Коши ряд сходится.
В обратную сторону - полнота гильбертова пространства теорема Пифагора получается предельным переходом равенства.
}}
Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:
$ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k, \ \| \alpha_k e_k \|^2 = \alpha_k. \ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty $
Всегда ли сходится описанный числовой ряд?
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
