Изменения

Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~A\colon X \to Y</tex>. <tex>A</tex> называется линейным оператором, если <tex>A \left ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha A \left ( x \right )+\beta A \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}Из того факта, что <tex>A \left ( \alpha x \right )=\alpha A \left ( x \right )</tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb {R}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br> 

Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }} Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>

Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( x+\mathcal{4}x \right )=A\left (x \right ) </tex> }}В силу линейности непрерывность {{Лемма|statement=Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br><tex> \vartriangleright </tex> |proof=Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left ( \mathcal{4}x \right )=A\left (0 \right )=0</tex><br> <tex> \left \| A \left ( x + \mathcal{4} x) \right ) - A \left ( x \right ) \right \| = \left \| A \left (x \right)+ A \left ( \mathcal{4}x \right)-A \left (x \right )\right \| = \left \| A \left ( \mathcal{4}x \right )\right \| \xrightarrow {[\mathcal{4}x \to 0]{} 0 </tex><br> <tex>A \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A \left ( x \right ) \vartriangleleft</tex><br>}} 

1) # A — ограничен, значит, <tex> \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>#: <tex>\left \| A \left ( \mathcal {4} x \right ) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} x \right \|.~ </tex>#: <tex> A \left ( \mathcal {4} x \right )\xrightarrow {[\mathcal{4}x \to 0]{} 0 </tex> .#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.2) # Пусть A — непрерывен на X, тогда <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} A \left ( x \right )</tex><br>#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \left \| x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\mathcal{4}x \to 0</tex> <tex>~ \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le \varepsilon = 1</tex><br>#: <tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}</tex>.~ <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta</tex><br><tex>\Rightarrow \left \| A \left ( z \right ) \right \| \le 1.~</tex>#: Но <tex>A \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} A \left ( x \right )</tex>. Значит, <tex>\| A \left ( z ) \right ) | = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \left \| Ax \right \| \le 1</tex>, таким образом, <tex>\| Ax \| \le \frac frac2{2 \left delta} \| x \right \|}{\delta}</tex><br>#: Очевидно, это верно и для <tex>x=0</tex>. <tex> m = \frac2{\delta} </tex> , оператор ограничен.