Изменения
→Графовый матроид
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>G = (\langle V, E)\rangle</tex> - неориентированный граф. Тогда <tex>M = (\langle E, I)\rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым(графическим) матроидом.'''
}}
3) <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
В графе <tex>G_A = (\langle V, A)\rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.
Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex> вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно <tex>k - m</tex> что не превосходит <tex>k - 1</tex> (кол-во рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\mid A \mid > \mid B \mid</tex> что протеворечит условию. Значит предположение не верно и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.
}}
