403
правки
Изменения
м
Рыжков не одобряет не-няшные буковки A для обозначения линейных операторов. пишем так, чтобы Рыжков одобрял
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A } (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A } \left( x \right) + \beta \mathcal{A } \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>
}}
Из того факта, что <tex>\mathcal{A } \left( \alpha x \right) = \alpha \mathcal{A } \left( x \right) </tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb {R}~ \mathcal{A } \left( 0 \right) =0 </tex>.
{{Определение
|definition=
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A } \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A } \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A } \left( x \right) </tex>
}}
Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>.
|proof=
Пусть <tex> \lim\limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A } \left( \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A } \left( 0 \right) = 0</tex>
<tex> \left \| \mathcal{A}( x + \mathcal{4} x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A } \left( x \right) + \mathcal{A } \left( \mathcal{4}x \right) - \mathcal{A } \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A } \left( \mathcal{4}x \right) \right \| \xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} 0 </tex>
<tex>\mathcal{A } \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} \mathcal{A}(x)</tex>
}}
Л.о. непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
|proof=
# <tex>\mathcal{A — }</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>#: <tex>\left \| \mathcal{A } \left( \mathcal {4} x \right) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} x \right \| </tex>#: <tex> \mathcal{A } \left( \mathcal {4} x \right) \xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} 0 </tex>.
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
# Пусть <tex>\mathcal{A — }</tex> {{---}} непрерывен на X, тогда <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} \mathcal{A}(x) </tex>#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \left \| x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\mathcal{4}x \to 0 ~ \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>#: <tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|} </tex>. <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>#: Но <tex>\mathcal{A } \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| Ax \mathcal{A}x \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| Ax \mathcal{A}x \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
#: Очевидно, это верно и для <tex>x = 0</tex>. <tex> m = \frac2{\delta} </tex> , оператор ограничен.
}}
{{Определение
|definition=
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A } \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \mathcal{A}x \right \|</tex>.
}}
<tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex>
<tex>\left \| Az \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A } \right \|</tex>
<tex>Az \mathcal{A}z = \frac {Ax\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| Ax \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A } \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex>
<tex>\left \| \mathcal{A } \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:# <tex>\left \| \mathcal{A } \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A } \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A } = 0</tex># <tex>\left \| \alpha \mathcal{A } \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A } \right \|</tex># <tex>\left \| \mathcal{A } + \mathcal{B } \right \| \le \left \| \mathcal{A } \right \| + \left \| \mathcal{B } \right \|</tex>
Докажем свойство 3:
Рассмотрим x, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( \mathcal{A } + \mathcal{B } \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \mathcal{A}x \right \| + \left \| Bx \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A } \right \| + \left \| \mathcal{B } \right \|, \forall x \le 1 </tex>
<tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z</tex>
<tex>\mathcal{B } \circ \mathcal{A } = \mathcal{B } \cdot \mathcal{A } \colon X \to Z, \left ( BA \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B } \left ( \mathcal{A } \left ( x \right ) \right )</tex>
<tex>\left \| BA \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B } \right \| \cdot \left \| \mathcal{A } \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A } \right \|^n</tex>
Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай:
<tex>\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A } \left (\overline {x_k} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A } \left ( \overline {e_k} \right ) </tex>
Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>\mathcal{A } \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.
<tex>\mathcal{A } \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex>
<tex>\overline y = \mathcal{A } \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A } \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A } = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>n</tex> до <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A } \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>.
В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex>, таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>
Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: <tex>\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j},~ y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex><br>
<tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|</tex><br>
<tex>\left \| \mathcal{A } \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|</tex>, и, таким образом, финальная оценка — <tex>\left \| \mathcal{A } \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.<br>
Если Л.О. действует из Н.П. X в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, он называется линейным функционалом.<br>
Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство (H — гильбертово). Фиксируем <tex>y \in H</tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. f — линейный функционал. По неравенству Шварца <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>.<br>
