689
правок
Изменения
добавил теорему Бесселя и прочую хурму
}}
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H</tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
{{Теорема
<tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k, \ \| \alpha_k e_k \|^2 = \alpha_k. \ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty </tex>
Возникает вопрос, : всегда ли сходится описанный числовой ряд?Для ответа, как обычно, введем новые теоретические построения.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>, <tex> x \in H</tex>, тогда <tex>\sigma (x) \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x; l_k)\cdot l_k</tex> {{---}} '''ряд Фурье''' точки <tex> x </tex>. При этом <tex> (x; l_k) </tex> называются коэффициентами этой точки.
}}
Если <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> сходится к <tex> x </tex>, то, учитывая непрерывность скалярного произведения, получаем:
<tex> (x; l_n) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k (l_k; l_n) </tex> = <tex> \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \delta_{k, n} = \alpha_n </tex>.
Значит, если написанный ортогональный ряд сходится, то он будет рядом Фурье своей суммы. Убедимся, что любой ряд Фурье сходится, однако не всегда к той же точке <tex> x </tex>, для которой он построен. Этот факт базируется на следующем неравенстве:
{{Теорема
|author=
Бессель
|statement=
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x; l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>
|proof=
Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение <tex> x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k </tex>:
<tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k; x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x; l_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex>
<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x; l_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x; l_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x; l_k)^2 </tex>.
Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x; l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x; l_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.
}}
{{TODO|t=Установите, кто-нибудь, требуемый факт, у меня дальше ничего нет.}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
