689
правок
Изменения
м
<tex>\forall x \in V \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>. Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
Нет описания правки
Так как шар {{---}} выпуклый, все корректно, <tex>\varphi' = \varphi</tex>.
Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>
Тогда <tex>\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\Theta)</tex>
По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex>
<tex>||g'(t)|| \le ||\varphi'||\cdot ||\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))|| \quad cdot ||\overline{b} - \overline{a}|| = \le 1 \cdot M \cdot ||\overline{b}-\overline{a}||</tex>
Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex><br> <tex>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных, непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.<br> Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
|proof=
Рассмотрим <tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex>
<tex>\overline{x}(t) = \overline{a} + \Delta\overline{a}t, \quad t \in [0, 1], \quad \overline{x}(t) \in V</tex>
Выражение под корнем стремится к нулю, таким образом, получаем требуемое.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
