689
правок
Изменения
м
ТакжеИтак, если <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>\RightarrowPi </tex> сущесвует , то существует <tex>\iint\limits_\Pif</tex>(достаточное условие интегрируемости).
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
<tex>\operatorname{rang} \tau = \max\{\operatorname{diam} \Pi_{ij}\}</tex>, где <tex>\operatorname{diam} \Pi_{ij}</tex> {{---}} диаметр клетки(то есть, длина ее диагонали).
}}
Далее аналогично определённому интегралу получаем линейность:
* <tex>\iint\limits_\Pi (\alpha f + \beta g) = \alpha \iint\limits_\Pi f + \beta\iint\limits_\Pi g</tex>
* <tex>f(x, y) \leq g(x, y) \Rightarrow \iint\limits_\Pi f \leq \iint\limits_\Pi g</tex>
<tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>,
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
<tex>\iint\limits_\Pi</tex> существует <tex>\iff</tex> <tex>\underline{I} = \overline{I}</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>.
Прямоугольник {{---}} компакт на плоскости <tex>\Rightarrow</tex> (функция непрерывна <tex>\Rightarrow</tex> равномерон равномерно непрерывна) <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta \geq 0 : \|x'' - x'\| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>
Тогда <tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon |\Pi| \to 0</tex>
== Аддитивность двойного интеграла ==
При этом, <tex>\exists \int\limits_a^c f \iff \exists \int\limits_a^b f, \exists\int\limits_b^c f</tex>.
Сам факт аддитивности сохраняется. Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex> , и они не имеют общих внутрнних внутренних точек, то:
* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \int\limits_{\Pi_m} f</tex>
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
''Пункт 1''
В силу специфики выбора <tex>\tau_1</tex> и <tex>\tau_2</tex> ясно, что каждая клетка <tex>\Pi_{ij}</tex> разбиается разбивается в свою очередь на часть клеток разбиения <tex>\tau</tex>.
То есть, мы получаем разбиение каждой клетки <tex>\Pi_{ij}</tex>. Посчитаем интегральные суммы по всем клеткам. Тогда ясно, что если все эти суммы
сложить, то получим разбиение <tex>\tau</tex>. Каждая из этих сумм стремится к конечному пределу <tex>\iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex> (почему?). Сумм , сумм конечное число.
Тогда получаем:
''Пункт 2''
Теперь докажем для общего случая.
