1679
правок
Изменения
м
мелкие фиксы
Как ранее было установлено, для функции одной переменной <tex>y = f(x), x \in \mathbb{R} </tex> выполняется следующее:
<tex>y f(x) =\sum \limits_{k= 0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex> <tex> f(x), = f(x_0) + \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x -x_0)^k+\in frac {f^{(n+1)}(x_0+\mathbbtheta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{Rn+1};</tex> <tex>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex>
<tex>\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)</tex>
<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x_kx^k</tex>
<tex>\Delta f(x_0,\Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,\Delta x)</tex>
<tex>\frac \partial{\partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков.
Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x_jx} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
В каком случае <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}</tex>?
