168
правок
Изменения
Нет описания правки
== Вопрос №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных==
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
== Вопрос №36. Неравенство Лагранжа==
{{Теорема
|author=
Неравенство Лагранжа
|statement=
Пусть <tex>V</tex> {{---}} шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в каждой точке шара, тогда:<br>
<tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>
}}
== Вопрос №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex>
<tex>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных, непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.
Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
}}
== Вопрос №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных==
{{Теорема
|about=О смешанных производных
|statement=
Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)</tex>
}}
