1679
правок
Изменения
м
→Задача об условном экстремуме
<tex>dz=0</tex>
<tex>\sum\limits_{j=1}^n \frac {\delta f}{\delta x_j}(\overline x,\overline y)dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\delta f}{\delta y_i}(\overline x,\overline y)dy_i\equiv = 0\qquad (*)</tex>
Но так как <tex>\overline y=\phi(\overline x)</tex>, то, в отличие от безусловного экстремума, в котором мы могли бы все частные производные приравнять к нулю и получить систему, мы так решать не можем, ибо <tex>dy_i</tex> зависит от <tex>dx_1,\dots dx_n</tex>. Но, в отличие от <tex>\phi</tex>, эту зависимость можно найти явно. У нас должны выполняться следующие условия:
<tex>g_k(\overline x,\overline y)=0, k=\overline{1,m}</tex>
<tex>\sum\limits_{j=1}^n \frac {\delta g_k}{\delta x_j}dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\delta g_k}{\delta y_i}dy_i\equiv = 0</tex>
В результате мы получаем СЛАУ для зависимости дифференциалов. Её матрицей будет матрица Якоби <tex>g'_{\overline y}(\overline x,\overline y)</tex>. Раз она обратима в <tex>(x_0,y_0)</tex>, то по непрерывности она будет обратима в окрестности этой точки, следовательно, <tex>dy</tex> можно выразить через <tex>dx</tex>, формулы будут линейны.
