== Вопрос №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы==
111<wikitex>Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $. {{Определение|definition=$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.}} Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $. $ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу. $ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $. Если при всех x из некоторой окрестности точки $ x_0 $ функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора. Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $.</wikitex>
== Вопрос №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора==
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>
