Изменения
→Дифференциирование композиции функций
<tex>\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j</tex>
<tex>g</tex> {{---}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta), \quad \Theta theta \in [0,1]</tex>
Заменяя <tex>g</tex> и <tex>g'</tex> по найденным формулам, получаем :
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Thetatheta\overline{a} + (1-\Thetatheta)\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
=== Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений ===
пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда <tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta theta \in (0,1)</tex>
Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{---}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.
<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)</tex>
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\Theta_itheta_i\overline{a}+(1-\Theta_itheta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.
Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\Theta_itheta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.
{{Теорема
Так как шар {{---}} выпуклый, то всё корректно определено.
Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta), \quad \Theta theta \in (0,1)</tex>
По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>
Тогда <tex>\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\Thetatheta)</tex>
По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}'(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex>
<tex>||g'(t)|| \le ||\varphi'||\cdot ||\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))||\cdot ||\overline{b} - \overline{a}|| \le 1 \cdot M \cdot ||\overline{b}-\overline{a}||</tex>
Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.
}}
