689
правок
Изменения
м
{{TODO |t=разрыв тут }}== Временный разрыв Общий случай ===
до теоремы о замене переменных в двойном интеграле от произвольной функции
Пример.
КАРТИНКА[Круг под действием преобразования переходит в прямоугольник.]
Плошадь круга. <tex>|E| = \iint\limits_\Pi r d\alpha dr</tex> <tex>= \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \int\limits_0^R r dr</tex> <tex>=\pi r^2</tex>
<wikitex>
Пусть $\begin{cases}x & = x(u, v)$, $\\y & = y(u, v)\\\end{cases}$, ; где $(x, y)$ {{---}} прямоугольные координаты, $(u, v)$ {{---}} криволиненыекриволинейные.
$l_u$, $l_v$ {{---}} линии уровня(координатные линии) в $OXY$.
КАРТИНКА КАРТИНКА[Кривые линии уровня и переход их под действием преобразования в стандартные линии уровня для плоскости.]
Рассмотрим элементарную клетку получвшейся криволинейной сети.
КАРТИНКА КАРТИНКА КАРТИНКА[в безобразии из предыдущей пары картинок рассматриваем элементарную клетку $E_{uv}$, зажатую между соседними линиями]
В $OXY$ элементарная клетка {{---}} прямоугольник.
Эти попытки связаны с тем, что хочется понять, что будет аналогом $R$ в полярных координатах.
$k_n\overline K_u = (x_v'; y_v')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_nl_u$ $\overline K_v = (x_u'; y_u')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_v$ $K_u\Delta v, K_v\Delta u$ - элементарные приращения, приблизительно образующие $E_{uv}$. Построим на них параллелограмм, его площадь: $P(u, v) = \begin{pmatrix}x_u' & y_u' \\x_v' & y_v' \\\end{pmatrix}$ $J(u, v) = det(P(u, v))$; $ S = |J(u, v)|\Delta u \Delta v$. Для $p \in E_p$, $\frac{|E_p|}{|E_p'|} \xrightarrow[diam p \rightarrow 0]{}{|J(u, v)|}$, получившийся предел называется якобианом преобразования. В итоге получаем $|E| = \iint\limits_{E}dxdy = \iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv$ <Сюда можно впилить долгий монолог о сложности понятия площади поверхности>
$\begin{cases}
