Изменения

#Обозначим за <tex>x^{(1)} \ldots x^{(D)}</tex> все выполняющие наборы формулы <tex>\phi</tex>. Заметим, что их число, обозначенное как <tex>D</tex>, нам неизвестно (но не превосходит 2^''n'').

#Равенство <tex>i = \lceil \log_2 D \rceil</tex> выполняется с вероятностью 1/(<tex>n</tex>+1), так как <tex>i</tex> было выбрано из [0..<tex>n</tex>]. Предположим, что это соотношение верно.

#Для некоторых <tex>x^{(j)}</tex> и <tex>x^{(h)}</tex> при условии несовпадения <tex>j</tex> и <tex>h</tex> имеется не более <tex>n</tex> простых делителей разности <tex>x^{(j)} - x^{(h)}</tex>, так как <tex>x^{(j)}</tex> и <tex>x^{(h)}</tex> не превосходят 2^''n''.

#Из двух предыдущих рассуждений следует, что существует по крайней мере <tex>2^{i+1}n - 2^{i}n = 2^{i}n</tex> чисел <tex>p</tex> таких, что они не превосходят <tex>b_i</tex> и остаток от деления <tex>x^{(j)}</tex> на <tex>p</tex> не совпадает с остатком от деления любого <tex>x^{(h)}</tex> на <tex>p</tex>.

#Таким образом по крайней мере <tex>2^{i}n</tex> пар чисел <tex>0 \le p_l, r_l \le b_i</tex> отличают набор <tex>x^{(j)}</tex> от всех остальных. Заметим, что при этом множества пар отличающих чисел (<tex>p_l</tex>, <tex>r_l</tex>) для каждого выполняющего набора переменных <tex>x^{(j)}</tex> дизъюнктны.

#Следовательно, всего имеется не менее <tex>2^i n \cdot D \ge 2^{2i-1}n</tex> искомых отличающих пар. В данной оценке мы использовали равенство из второго пункта.

#Таким образом, вероятность выбрать отличающую пару чисел (<tex>p_l</tex>, <tex>r_l</tex>) составляет не менее <tex>\frac{2^{2i-1}n}{16\cdot2^{2i}n^4}=\frac{1}{32n^3}</tex>.

#Домножая полученную вероятность на вероятность выбрать подходящее <tex>i</tex> (см. второй пункт), получим, что вероятность ошибочного построения формулы <tex>\phi_k</tex> составляет <tex>1-\frac{1}{32n^3(n+1)}</tex>.