689
правок
Изменения
кажется, все
$= f(x_i, y_i) \left| |E_i| = \iint\limits{E_i'}|J(u, v)|dudv - |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| \le$
(так как при $\operatorname{rang} \tau < \delta, \forall E_i: \left| |J(u, v)| - |J(u_i, v_i)| \right| < \varepsilon$, а $\Delta u_i \Delta v_i = \iint\limits{E_i'}dudv$)
$\le f(x_i, y_i) \iint\limitslimits_{E_i'} \left| |J(u, v)| - |J(u_i, v_i)| \right|dudv \le$
(тут пара какихтак как при $\operatorname{rang} \tau < \delta, \forall E_i: \left| |J(u, v)| -то очень мутных переходов|J(u_i, v_i)| \right| < \varepsilon$)
$\le \varepsilon |E_i'|$ Тогда для интеграла по всей $E$ имеем: $\left| \sum\limits_{i=1}^n f(x_i, y_i)|E_i| - \sum\limits_{i=1}^n f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| \le $ $ \le \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'_i| = \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'|$.
Это выполняется для любого $\varepsilon > 0$, значит, теорема доказана.
