152
правки
Изменения
Нет описания правки
<tex>\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} = r + \frac12\Delta r</tex>
<tex>\Delta \alpha, \Delta r \to 0 \Rightarrow \frac{\Delta S}{\Delta\alpha \Delta r} \to 0r</tex>
Или, <tex>\Delta S \approx r\Delta\alpha\Delta r</tex>.
КАРТИНКА[<tex> P \in E_P </tex> преобразованием T переходит в <tex> P' \in E_P' </tex>]
<tex>\forall\varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \operatorname{diam} E_P < \delta \Rightarrow \left|\frac{|E_p|}{|E'_P|} - r \right| < \varepsilon, \forall P \subset \Pi</tex>
Рассмотрим квадрируемую фигуру <tex>E</tex>. <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j</tex>;<tex>E_i \cap E_j = \varnothing, \forall i \ne j</tex>; <tex>|E| = \sum\limits_{j = 1}^p |E_j|</tex>
<tex>|E_j| = r_j|E'_j| + \alpha_j |E'_j|</tex>, где <tex>\alpha_j</tex> {{---}} бесконечно малое.
Тогда первое слагаемое {{---}} интегральная сумма, а второе стремится к нулю. Тогда
<tex>|E | = \iint\limits_{E'}rd\alpha dr + 0 = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr</tex>
Пример.
В $OXY$ элементарная клетка {{---}} прямоугольник.
$\frac{|E_{uv}|}{|E'_{uv}|} = \frac{|E_{uv}|}{\Delta u\Delta v}$
Соединим отрезками вершины клетки, получим четырёхугольник, который примерно параллелограмм, и вычислим его площадь.
Можно действовать по-другому: построить касательные к линиям уровня в точках пересечения, нормировать их, получить паралелограмм и считать его площадь.
Эти попытки связаны с тем, что хочется понять, что в общем случае будет аналогом $R$ коэффициентом <tex>r</tex> в полярных координатах. <tex> K_u</tex> - касательные.
$\overline K_u = (x_v'; y_v')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_u$
$ S = |J(u, v)|\Delta u \Delta v$.
Для $p \in E_p$, $\frac{|E_p|}{|E_p'|} \xrightarrow[diam p E'_p \rightarrow 0]{}{|J(u, v)|}$, получившийся предел называется якобианом преобразования.
В итоге получаем $|E| = \iint\limits_{E}dxdy = \iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv$
<Сюда можно впилить долгий монолог о сложности понятия площади поверхности>
Собственно вот он:
Анри Картан - плоскость - линейное многообразие(Подход снимает вопрос образа триангуляции)
<tex>S \begin {cases}
x &= x(u, v)\\
y &= y(u, v)\\
z &= z(u, v)\\
\end {cases} </tex>
<tex>(u,v) \in E \subset \mathbb R</tex>
Площадь <tex>S \stackrel{def}= \iint\limits_{E} \sqrt{(\frac{D(x; y)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(x; z)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(y; z)}{D(u;v)})}^2dudv=</tex>
<tex>=\iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv</tex>; где <tex>\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin {vmatrix}
x_u' & x_v' \\
y_u' & y_v' \\
\end {vmatrix}
</tex>
{{Теорема
$E$ - квадрируема, значит, сумма площадей параллелограммов(а в образе - прямоугольников) на границе будет сколь угодно малой при устремлении ранга разбиения к нулю. Значит, можно принебречь суммой этих групп слагаемых в соответствующих интегральных суммах.
Рассмотрим кусочек интегральной суммы, $f(p_i)|E_i|$, $p_i = (x_i, y_i)$. Как мы ранее установили, $|E_i| = \iint\limits{E_i'}|J(u, v)|dudv$.
Пусть точка $<tex>p_i=(x_i, y_i)</tex>,<tex>p_i'$ =(u_i,v_i)</tex>, <tex>\begin{cases}x_i & = x_i(u_i, v_i)\\y_i & = y_i(u_i, v_i)\\\end{cases}</tex>;<tex>p_i'</tex>- образ $точки <tex>p_i$, </tex>/Если писать интегральные суммы для интегральной суммы образа получаем:, то текущее слагаемоеЖ
$S = f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i$.
Сравним с исходной площадью2 слагаемых:
(так как $\Delta u_i \Delta v_i = \iint\limitslimits_{E_i'}dudv$.)Преобразование координат гладкое <tex> \Rightarrow </tex><tex>J</tex> - непрерывная функция; всё множество компактно <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> равномерно непрерывна <tex>\Rightarrow </tex><tex>rang~ \tau < \delta, \forall E_i' ||J(u, v)|-|J(u_i, v_i)|| \le \varepsilon \Rightarrow </tex>
$\le f(x_i, y_i) \iint\limits_{E_i'} \left| |J(u, v)| - |J(u_i, v_i)| \right|dudv \le$
$\le \varepsilon |E_i'|$
Тогда для интеграла по всей $E$ имеем:
$\left| \sum\limits_{i=1}^n f(x_i, y_ip_i)|E_i| - \sum\limits_{i=1}^n f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| \le $
$ \le \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'_i| = \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'| $.
Это выполняется для любого $\varepsilon > 0$, значитв пределе <tex>\iint\limits_{E}f(x, y)dxdy = \iint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv</tex>, а следовательно теорема доказана.
}}
Далее будет доказана более общая и крутая теорема Фубини, которая более строго ответит на наши вопросы.
</wikitex>
