[[Формула Тейлора для функций многих переменных|<wikitex<]] [[Локальная теорема о неявном отображении|>>]]
Считаем что $ \forall \frac{\partial f}{\partial x_j} \in C^0 $$ y = f(x_1Так же, x_2как и ранее, \dotsсчитаем, x_n) $ в $ V(\overline{a}) \in R^n $что все частные производные исследуемой функции непрерывны.
Если $ \| \Delta \overline{a} \| \le \delta, \quad \delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a}) $
, то $ a $ - точка локального максимума. Аналогично, точка локального минимума.
Мгновенно получается аналог теоремы Ферма:{{Определение|definition=Пусть задан линейный функционал <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.Если при <tex>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, <tex>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})</tex>, то <tex>a</tex> {{---}} '''точка локального максимума'''. Аналогично определяется точка локального минимума.}}
Существует {{Теорема|about=Аналог теоремы Ферма|statement=Пусть <tex>f, дифференциируемая </tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a, которая - локальный экстремум</tex>.Тогда $ <tex>\forall j = 1..n $ все $ : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0 $</tex>|proof= <tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a})</tex><tex>=\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) \Delta a_j + o(\Delta \overline{a})</tex>
$ f(\overline{a} + Пусть <tex>\Delta \overline{a}) - f(\overline{a}) =\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(h \overline{ae_j}) \Delta a_j + o(\Delta </tex>, где <tex> \overline{ae_j}) $</tex> - базисный вектор.
$ \Delta \overline{a} = h \overline{e_j} \quad $ : (сохраняет знак из-за экстремальности точки a) $ \quad Тогда <tex>\frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}</tex><tex>= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h} $ - стремится к 0 при h стремящемся к 0</tex>
Поэтому Последнее слагаемое стремится к 0 при <tex>h</tex> стремящемся к 0.Числитель дроби в левой части сохраняет знак из-за экстремальности точки <tex>a</tex>, поэтому предел слева дроби имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела:<tex>\frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0</tex>.}}
$ Пусть <tex>y = f(\fracoverline{\partial fx}{\partial x_j} ()</tex>, исследуем на экстремум в <tex>\overline{a}) = 0 $</tex>.
$ y = f(\overline{x}) $, исследуем на экстремум $\overline{a} $.Составляем систему:
Составляем систему:<tex>\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1} \overline{a} = 0\\ \dots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \overline{a} = 0\end{cases}</tex>
$ Решения {{---}} стационарные точки, включают в себя экстремальные. Если <tex>a</tex> {{---}} стационарна, то по формуле Тейлора:<tex>f(\beginoverline{casesa} + \frac{Delta \partial f}overline{\partial x_1a} ) - f(\overline{a} )</tex><tex>= 0\frac12 \ sum\dots\\ limits_{i,j = 1}^n \frac{\partial ^2 f}{\partial x_nx_i \partial x_j } (\overline{a} = 0 + \theta \Delta \endoverline{casesa} $) \Delta a_i \Delta a_j</tex>
Решения - стационаоные точки, включают в сеья экстремальные. Если a - стационарна - то по формуле Тейлора:$ Записывая <tex>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) - f(\overline</tex> как <tex>A_{aij})= \frac12 + \sum\limits_alpha_{iij}</tex>,j если <tex>A_{ij} = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) \Delta a_i \Delta a_j $</tex>:
Записывая $ <tex>\frac{\partial^2 Delta f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta , \Delta \overline{a}) $</tex>как $A_<tex>= \frac12 \sum\limits_{iji,j = 1} + \alpha_^{ijn} $, если $ A_{ij} = \fracDelta a_i \Delta a_j +\frac12 \sum\limits_{\partiali,j = 1}^2 f}{\partial x_i \partial x_j n} \overlinealpha_{aij} $:\Delta a_i \Delta a_j</tex>
$ <tex>\xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|}</tex>, приходим к записи:<tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex><tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta a_i xi_i \Delta a_j xi_j +\frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta a_i xi_i \xi_j \Delta a_j $right)</tex>(*)
$ Обращаем внимание, что <tex>\xi_i = sum\fraclimits_{\Delta a_ii = 1}^{\| \Delta \overline{an} \|} $xi_i^2 = 1</tex>, приходим к записи:$ то есть <tex>\Delta fxi = (\overline{a}xi_1, \Delta dots ,\overline{a}xi_n)= \frac12 in \delta_n </tex> {\| \Delta \overline{a---} \|}^2 \left( \sum\limits_{iзамкнутая сфера единичного радиуса, то есть ограниченное замкнутое множество,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sumкоторое является компактом в <tex>\limits_mathbb{i,j = 1R}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right) $</tex>.
Обращаем вниманиеТак как все частные производные непрерывны, что $ \sumто все <tex>\limits_{i = 1}^alpha_{nij} \xi_i^2 = 1 $, тоесть $ \xi = (\xi_1, \dots </tex> стремятся к 0,если <tex>\xi_n) \in \delta_n $ - ограниченное замкнутое множество, а, значит, компакто в $ R^n $Delta a</tex> стремится к 0.
Так как все частные производные непрерывны, то все $ \alpha_{ij} $ стремятся к 0, если $ \Delta a $ стремится к 0.
Воспользуемся тем, что квадратичные формы можно классифицировать по знаку их значений.
Форма является строго положительно определенной, если при $ <tex>\forall \bar \xi_i xi \ne 0 $ </tex> знак суммы $ <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0 $</tex> (например,<tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2</tex>). Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на <tex>\delta_n</tex> она {{---}} непрерывная функция, а координаты на сфере все координаты не могут быть равны нулю одновременно. По теореме Вейерштрасса форма принимает минимальное значение <tex>m > 0</tex>. Вывод: <tex>\forall \overline{\xi} \in \delta_n \Rightarrow \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i \xi_j</tex>, где <tex>\alpha_{ij}</tex> стремится к 0, а <tex>\xi_i, \xi_j</tex> ограничены. Приходим к выводу что сумма стремится к нулю. Значит: <tex>\exists \delta > 0 : \| \Delta \overline{a} \| < \delta \Rightarrow \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j > -\frac12 m</tex> При таких <tex>\Delta \overline{a} : \sum A_{ij} \xi_i \xi_j + \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j> \frac12 m > 0</tex>
Классический пример: $ Используя все в соотношении(*), получаем, что<tex>\xi_1Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) > \frac14 m {\|\Delta \overline{a} \|}^2 + > 0 \dots + Rightarrow \xi_n^2 $overline{a}</tex> {{---}} точка локального минимума.
Будем считатьВ результате: если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, что интересующая \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма именно такая. Но на $ \delta_n $ она строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{--- непрерывная функция,а координаты на сфере все не равны нулю}} точка локального минимума.
По теореме Вейерштрасса Аналогично, если квадратичная форма принимает минимальное значение $ m строго отрицательно определена, то <tex> 0 $a</tex> {{---}} точка локального максимума.
Вывод: $ \forall Той же техникой показывают, что если <tex>d^2f(\overline{\xia} \in \delta_n \Rightarrow \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i Delta \xi_j $, где $ \alpha_overline{ija} $ - стремится к 0, а $\xi_i)</tex> незнакоопределённая, \xi_j $ - ограничены - приходим к выводу что сумма стремится к нулюто в точке <tex>a</tex> в ней локального экстремума нет.
ЗначитОстается ситуация: ф <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) \ge 0</tex> или <tex>\le 0</tex> (нестрого знакоопределённая) {{---}} тогда проблема требует дополнительного исследования.
[[Формула Тейлора для функций многих переменных|</wikitex<]] [[Локальная теорема о неявном отображении|>>]][[Категория: Математический анализ 1 курс]]
