Вероятностное пространство, элементарный исход, событие — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры вероятностных пространств)
(Примеры вероятностных пространств)
Строка 27: Строка 27:
 
## '''Честная монета''' <br /> Множество исходов <tex>\Omega = \left\{0,1\right\}</tex>, где <tex>0</tex> {{---}} выпадает орел, <tex>1</tex> {{---}} выпадает решка. <tex> p(0)=p(1)=0,5.</tex> <br /> Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства. <br/> <tex>\varnothing </tex>:                <tex>  p(\varnothing)=0</tex>. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю. <br/> <tex>\left\{0\right\} </tex>:          <tex>  p(0)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй. <br/> <tex>\left\{1\right\} </tex>:          <tex>  p(1)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.<br/> <tex>\left\{0,1\right\} </tex>:        <tex>  p(\left\{0,1\right\})=1</tex>. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
 
## '''Честная монета''' <br /> Множество исходов <tex>\Omega = \left\{0,1\right\}</tex>, где <tex>0</tex> {{---}} выпадает орел, <tex>1</tex> {{---}} выпадает решка. <tex> p(0)=p(1)=0,5.</tex> <br /> Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства. <br/> <tex>\varnothing </tex>:                <tex>  p(\varnothing)=0</tex>. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю. <br/> <tex>\left\{0\right\} </tex>:          <tex>  p(0)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй. <br/> <tex>\left\{1\right\} </tex>:          <tex>  p(1)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.<br/> <tex>\left\{0,1\right\} </tex>:        <tex>  p(\left\{0,1\right\})=1</tex>. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
 
## '''Нечестная монета''' <br/> Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако <tex>p(0)=x, p(1) = 1 - x=y</tex>, где <tex>x,y \in \left[ 0,1 \right ]</tex>.
 
## '''Нечестная монета''' <br/> Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако <tex>p(0)=x, p(1) = 1 - x=y</tex>, где <tex>x,y \in \left[ 0,1 \right ]</tex>.
## '''Игральная кость''' <br/> Множество исходов <tex>\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}</tex>.  <tex> p(i)= \dfrac {1}{6}.</tex> Рассмотрим некоторые события этого пространства. <br/> <tex>A=\left\{1,2,3 \right\}</tex> : <tex>p(A)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.</tex> Вероятность выпадения одного из трех чисел {{---}} <tex>1, 2, 3</tex> {{---}} равна одной второй. <br/> <tex>B=\left\{2,4 \right\}</tex> : <tex>p(B)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.</tex> Числа <tex>2</tex> или <tex>4</tex> выпадут с вероятностью одна треть.
+
## '''Игральная кость''' <br/> Множество исходов <tex>\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}</tex>.  <tex> p(i)= \dfrac {1}{6}.</tex> Рассмотрим некоторые события этого пространства. <br/> <tex>A=\left\{1,2,3 \right\}</tex> : <tex>p(A)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.</tex> Вероятность выпадения одного из трех чисел из множества <tex>A</tex> равна одной второй. <br/> <tex>B=\left\{2,4 \right\}</tex> : <tex>p(B)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.</tex> Числа <tex>2</tex> или <tex>4</tex> выпадут с вероятностью одна треть.
 
## '''Колода карт''' <br/> <tex>\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\}    \right\}</tex>. Здесь <tex>i</tex> {{---}} масть, <tex>j</tex> {{---}} достоинство карты. <br/> Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\dfrac {1}{52}.</tex>
 
## '''Колода карт''' <br/> <tex>\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\}    \right\}</tex>. Здесь <tex>i</tex> {{---}} масть, <tex>j</tex> {{---}} достоинство карты. <br/> Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\dfrac {1}{52}.</tex>
 
# '''Бесконечное вероятностное пространство''' <br/> Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на <tex>i</tex>-ом подбрасывании честной монеты в первый раз. <br/> Тогда вероятность исхода с номером <tex>i</tex> равна: <tex> p(A_{i}) = \dfrac {1}{2^{i} } .</tex>  <br/> Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным  <tex> \dfrac {1}{2} .</tex> Найдем сумму этой прогрессии: <tex> \sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \dfrac { b_{1} } { 1 - q } = \dfrac { \dfrac{1}{2} }{ 1 -\dfrac{1}{2} } = 1.</tex> <br/> Так как сумма всех элементарных исходов равна <tex>1,</tex> то это множество является вероятностым пространством.
 
# '''Бесконечное вероятностное пространство''' <br/> Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на <tex>i</tex>-ом подбрасывании честной монеты в первый раз. <br/> Тогда вероятность исхода с номером <tex>i</tex> равна: <tex> p(A_{i}) = \dfrac {1}{2^{i} } .</tex>  <br/> Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным  <tex> \dfrac {1}{2} .</tex> Найдем сумму этой прогрессии: <tex> \sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \dfrac { b_{1} } { 1 - q } = \dfrac { \dfrac{1}{2} }{ 1 -\dfrac{1}{2} } = 1.</tex> <br/> Так как сумма всех элементарных исходов равна <tex>1,</tex> то это множество является вероятностым пространством.

Версия 22:23, 1 июня 2017

Основные определения

Определение:
Дискретным вероятностным пространством (англ. discrete probability space) называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества [math]\Omega[/math] и функции [math]p\colon \Omega \to \mathbb R_+ [/math] ( [math]\Omega[/math] называется множеством элементарных исходов (англ. sample space), [math]\omega \in \Omega[/math]элементарным исходом (англ. elementary outcome), такая, что [math]\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1[/math].


[math]p[/math] называют дискретной вероятностной мерой (англ. discrete probability measure), или дискретной плотностью вероятности (англ. discrete probability density).

[math]p(\omega)[/math] — вероятность элементарного исхода.


Определение:
Множество [math]A \subset \Omega[/math] называется событием (англ. event).


[math]p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}[/math], то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.


Определение:
Прямым произведением вероятностных пространств (англ. direct product of probability spaces) [math]X=\langle\Omega_{1},p{}_{1}\rangle[/math] и [math]Y=\langle\Omega_{2},p{}_{2}\rangle[/math] называется такое вероятностное пространство [math]Z\:\langle\Omega,p\rangle \: = X\times Y[/math], что
[math]\Omega=\Omega_{1}\times\Omega_{2}[/math]
[math] p(\omega_{1},\omega_{2}) = p(\omega_{1})\cdot p(\omega_{2})[/math]


Другими словами, [math]\Omega[/math] — множество всех пар элементарных исходов из [math]X[/math] и [math]Y[/math] (т.е. декартово произведение этих множеств).

Примеры вероятностных пространств

  1. Конечные вероятностные пространства
    1. Честная монета
      Множество исходов [math]\Omega = \left\{0,1\right\}[/math], где [math]0[/math] — выпадает орел, [math]1[/math] — выпадает решка. [math] p(0)=p(1)=0,5.[/math]
      Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.
      [math]\varnothing [/math]: [math] p(\varnothing)=0[/math]. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.
      [math]\left\{0\right\} [/math]: [math] p(0)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.
      [math]\left\{1\right\} [/math]: [math] p(1)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.
      [math]\left\{0,1\right\} [/math]: [math] p(\left\{0,1\right\})=1[/math]. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
    2. Нечестная монета
      Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако [math]p(0)=x, p(1) = 1 - x=y[/math], где [math]x,y \in \left[ 0,1 \right ][/math].
    3. Игральная кость
      Множество исходов [math]\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/math]. [math] p(i)= \dfrac {1}{6}.[/math] Рассмотрим некоторые события этого пространства.
      [math]A=\left\{1,2,3 \right\}[/math] : [math]p(A)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.[/math] Вероятность выпадения одного из трех чисел из множества [math]A[/math] равна одной второй.
      [math]B=\left\{2,4 \right\}[/math] : [math]p(B)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.[/math] Числа [math]2[/math] или [math]4[/math] выпадут с вероятностью одна треть.
    4. Колода карт
      [math]\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\} \right\}[/math]. Здесь [math]i[/math] — масть, [math]j[/math] — достоинство карты.
      Вероятность элементарного исхода этого пространства [math]p(\left \langle i,j\right \rangle)=\dfrac {1}{52}.[/math]
  2. Бесконечное вероятностное пространство
    Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на [math]i[/math]-ом подбрасывании честной монеты в первый раз.
    Тогда вероятность исхода с номером [math]i[/math] равна: [math] p(A_{i}) = \dfrac {1}{2^{i} } .[/math]
    Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным [math] \dfrac {1}{2} .[/math] Найдем сумму этой прогрессии: [math] \sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \dfrac { b_{1} } { 1 - q } = \dfrac { \dfrac{1}{2} }{ 1 -\dfrac{1}{2} } = 1.[/math]
    Так как сумма всех элементарных исходов равна [math]1,[/math] то это множество является вероятностым пространством.

См. также

Источники информации