Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке

Определение

Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке — непосредственное построение и перебор всех объектов заданного типа так, чтобы для любых двух объектов выполнялось условие: [math]K_i[/math] [math]\lt [/math] [math]K_i[/math][math]_+[/math][math]_1[/math].

Алгоритм построения

Описание процедуры построения

Данный алгоритм генерирует все объекты заданного типа в лексикографическом порядке. На каждом шаге генерируется минимальный возможный префикс требуемого объекта.

Пусть [math]Gen(K, p)[/math] — процедура генерирования, где [math]p[/math] — глубина рекурсии, [math]K[/math] — комбинаторный объект.

Gen(K, p)
  if p = <требуемый размер объекта>
    <выводим> K
  else
     for <все w из алфавита на котором строится K>
       if (K + w) = <корректный префикс требуемого объекта>
         Gen(K + w, p + 1)

Генерация с помощью процедуры получения следующего объекта

Составляем первый объект — [math]K_1[/math], для него получаем следующий объект — [math]K_2[/math], для [math]K_2[/math] получаем [math]K_3[/math], далее действуем также, для [math]K_i[/math] получая [math]K_i[/math][math]_+[/math][math]_1[/math] объект, пока не получим последний объект [math]K_n[/math].

Примеры

Пример генерации сочетаний из N элементов по M в лексикографическом порядке

Пусть [math]gen(k, l)[/math] — процедура генерирования, где [math]a[/math] — текущее сочетание, [math]k[/math] — следующий элемент в сочетании, [math]l[/math] - глубина рекурсии.

procedure gen(k, l : longint);
var
    i : longint;
begin
    a[l] := k;
    if l = m then {объект имеет требуемый размер}
    begin
        for j := 1 to m do write(a[j], ' '); {выводим текущее сочетание}
        writeln;
    end else for i := k+1 to n do rec(i, l+1); {перебираем подходящий префикс}
end;

Пример работы процедуры генерации

Иллюстрация работы процедуры генерирования всех перестановок из чисел [math]1, 2, 3[/math]

Ссылки

• Перечисление (комбинаторика)
• ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: АЛГОРИТМЫ
• Комбинаторика и переборные задачи
• Комбинаторика