Группы. Действие группы на множестве — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
 
|id=group_action  
 
|id=group_action  
 
|definition=[[Группа]] <tex>G</tex> '''действует на множестве''' <tex>X</tex>, если задано отображение <tex>G \times X \rightarrow X</tex> (обозначается <tex>g \cdot x</tex>), такое что для любого <tex>x \in X</tex>, а также для любых <tex>g_1, g_2 \in G</tex> оно обладает свойствами:
 
|definition=[[Группа]] <tex>G</tex> '''действует на множестве''' <tex>X</tex>, если задано отображение <tex>G \times X \rightarrow X</tex> (обозначается <tex>g \cdot x</tex>), такое что для любого <tex>x \in X</tex>, а также для любых <tex>g_1, g_2 \in G</tex> оно обладает свойствами:
# <tex>(g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)</tex>
+
# <tex>(g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)</tex> (здесь <tex>g_1 \cdot g_2</tex> --- групповая операция)
 
# <tex>e \cdot x = x</tex>
 
# <tex>e \cdot x = x</tex>
 
}}
 
}}

Версия 23:41, 25 декабря 2018

Определение:
Группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math], если задано отображение [math]G \times X \rightarrow X[/math] (обозначается [math]g \cdot x[/math]), такое что для любого [math]x \in X[/math], а также для любых [math]g_1, g_2 \in G[/math] оно обладает свойствами:
  1. [math](g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)[/math] (здесь [math]g_1 \cdot g_2[/math] --- групповая операция)
  2. [math]e \cdot x = x[/math]


Эквивалентность по группе

Определение:
Пусть группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math]. Введем на [math]X[/math] отношение эквивалентности [math]\sim[/math] для [math]x, y \in X[/math]: [math]x \sim y[/math], если [math]\exists g \in G : x = g \cdot y[/math]. Тогда, если [math]x \sim y[/math], то говорят, что [math]x[/math] и [math]y[/math] равны с точностью до группы.
Утверждение:
Отношение [math]\sim[/math] является отношением эквивалентности.
[math]\triangleright[/math]
  1. Рефлексивность. Для любого [math]x \in X[/math] верно [math]x = e \cdot x[/math], значит [math]x \sim x[/math].
  2. Симметричность. Пусть [math]x \sim y[/math] для некоторых [math]x, y \in X[/math]. Тогда существует [math]g \in G[/math], такое что [math]x = g \cdot y[/math]. Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: [math]g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot y) = (g^{-1} \cdot g) \cdot y = e \cdot y = y[/math]. То есть [math]g^{-1} \cdot x = y[/math]. Значит, [math]y \sim x[/math].
  3. Транзитивность. Пусть [math]x \sim y[/math] и [math]y \sim z[/math] для некоторых [math]x, y, z \in X[/math]. Тогда существуют такие [math]g_1, g_2 \in G[/math], что [math]x = g_1 \cdot y[/math], а [math]y = g_2 \cdot z[/math]. Отсюда следует, что [math]x = g_1 \cdot (g_2 \cdot z) = (g_1 \cdot g_2) \cdot z[/math]. То есть, [math]x \sim z[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Орбита и стабилизатор

Определение:
Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда орбитой элемента [math]x \in X[/math] называется множество: [math]Orb(x) = \{y \in X \mid \exists g \in G : g \cdot x = y\}[/math]. Множество всех орбит обозначается так: [math]X/G[/math].

Иными словами, орбитой элемента множества [math]X[/math] в группе [math]G[/math] называется порожденный им класс эквивалентности по отношению [math]\sim[/math].

Определение:
Элемент [math]x \in X[/math] называется неподвижной точкой элемента [math]g \in G[/math], если [math]g \cdot x = x[/math]


Определение:
Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда стабилизатором элемента [math]g \in G[/math] называется множество его неподвижных точек: [math]St(g) = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}[/math]


Примеры

  • TODO


См. также

Источники информации