Двудольные графы и раскраска в 2 цвета — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема Кенига)
Строка 23: Строка 23:
 
''Необходимость.''
 
''Необходимость.''
  
Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества <tex> V_0 </tex> и <tex> V_1 </tex> так, чтобы в <tex> V_0 </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что кратчайшая цепь <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V_1 </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> - нечётная. При этом <tex> u \in V_0 </tex>
+
Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества <tex> U </tex> и <tex> V </tex> так, чтобы в <tex> U </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что кратчайшая цепь <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> - нечётная. При этом <tex> u \in U </tex>
  
В <tex> G </tex>
+
В графе <tex> G </tex> нет ребер <tex>ab</tex>, таких что <tex>a, b </tex> лежат одновременно в <tex> U </tex>  и <tex>V</tex>. Поведем доказательство от противного. Пусть <tex>a, b \in V_0 </tex>. Зададим <tex> P_0 </tex> - кратчайшая <tex> (u, a) </tex> цепь, а <tex> P_1 </tex>- кратчайшая <tex> (u, b) </tex> цепь. Обе цепи четной длины. Пусть <tex> u </tex> - последняя вершина цепи <tex> P_0 </tex>, принадлежащая <tex> P_1 </tex>. Тогда подцепи от <tex> u </tex> до <tex> v_0  </tex> в <tex> P_0  и P_1</tex> имеют одинаковую длину (иначе бы противоречили выбору <tex> P_0  </tex> и <tex> P_1 </tex>). А так как подцепи одинаковы, то чётность у них одинакова, а значит в сумме с ребром <tex> ab </tex> они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
 
}}
 
}}
  

Версия 09:08, 14 января 2012

Определение:
Неориентированный граф [math]G = (W,E)[/math] называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части [math] U \cup V = W , \mid U\mid \gt 0, \mid V\mid \gt 0[/math], так, что ни одна вершина в [math]U[/math] не соединена с вершинами в [math]U[/math] и ни одна вершина в [math]V[/math] не соединена с вершинами в [math]V[/math].


Теорема Кенига

Теорема (Кёниг):
Граф [math] G [/math] с конечным числом вершин является двудольным [math] \iff [/math] когда все циклы в графе [math] G [/math] имеют чётную длину.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточность.

Пример двудольного графа


Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доли [math] U [/math]. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы подняться в [math] U [/math] снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным. Очевидно, что в двудольном графе нет петель.


Необходимость.

Пусть ненулевой граф [math] G [/math] связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину [math] u [/math] и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества [math] U [/math] и [math] V [/math] так, чтобы в [math] U [/math] лежали вершины [math] v_0 [/math], такие что кратчайшая цепь [math](u, v_0)[/math] была чётной длины, а в [math] V [/math] соответственно вершины [math]v_1[/math], для которых длина цепи [math](u, v_1)[/math] - нечётная. При этом [math] u \in U [/math]

В графе [math] G [/math] нет ребер [math]ab[/math], таких что [math]a, b [/math] лежат одновременно в [math] U [/math] и [math]V[/math]. Поведем доказательство от противного. Пусть [math]a, b \in V_0 [/math]. Зададим [math] P_0 [/math] - кратчайшая [math] (u, a) [/math] цепь, а [math] P_1 [/math]- кратчайшая [math] (u, b) [/math] цепь. Обе цепи четной длины. Пусть [math] u [/math] - последняя вершина цепи [math] P_0 [/math], принадлежащая [math] P_1 [/math]. Тогда подцепи от [math] u [/math] до [math] v_0 [/math] в [math] P_0 и P_1[/math] имеют одинаковую длину (иначе бы противоречили выбору [math] P_0 [/math] и [math] P_1 [/math]). А так как подцепи одинаковы, то чётность у них одинакова, а значит в сумме с ребром [math] ab [/math] они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]

Раскраска в 2 цвета

Так как множество вершин двудольного графа можно разделить на 2 независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества [math]\Rightarrow[/math] граф [math]G = (W,E)[/math] - 2 - раскрашиваем. [math]\chi(G) = 2[/math].

Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину. На каждом шаге обхода в глубину метим вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - добавляем ее в множество [math] U [/math]. То есть ставим метку [math] 1 [/math]. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то метим ее как [math] 2 [/math] (то есть добавляем во множество [math] V [/math] ) и рекурсивно переходим в нее. Если же она мечена и у нее такая же метка как у нашей - то все граф не двудольный.


Источники

1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
2. Харари Ф. - Теория графов. ISBN 978-5-397-00622-4

См. также