Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти эквивалентный автомат с наименьшим количеством состояний.

Минимизация ДКА

Если в ДКА существуют два эквивалентных состояния, то при их объединении мы получим эквивалентный ДКА, так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея минимизации состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА.

Простой алгоритм

Определение:

Класс [math]C[/math] разбивает класс [math]R[/math] по символу [math]a[/math] на [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math], если [math]\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in C[/math] [math]\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin C[/math]

Если класс [math]R[/math] может быть разбит по символу [math]a[/math], то он содержит хотя бы одну пару неэквивалентных состояний (так как существует строка которая их различает). Если класс нельзя разбить, то он состоит из эквивалентных состояний. Поэтому самый простой алгоритм состоит в том, чтобы разбивать классы текущего разбиения до тех пор пока это возможно.

Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.

1. Первоначальное разбиение множества состояний — класс допускающих состояний [math]F[/math] и класс недопускающих состояний ([math]\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}[/math]).
2. Перебираются символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math], все пары [math](F, c)[/math] и [math](Q \setminus F, c)[/math] помещаются в очередь.
3. Из очереди извлекается пара [math](C, a)[/math], [math]C[/math] далее именуется как сплиттер.
4. Каждый класс [math]R[/math] текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу [math]a[/math] переходят в сплиттер ([math]R_1[/math]), а второй из всех оставшихся ([math]R_2[/math]).
5. Если [math]R[/math] разбился на два непустых подкласса (т.е. [math] R_1 \ne \emptyset[/math] and [math]R_2 \ne \emptyset [/math]).
   1. В разбиении [math]P[/math] класс [math]R[/math] заменяется на свои подклассы [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math].
   2. Перебираются символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math], все пары [math](R_1, c)[/math] и [math](R_2, c)[/math] помещаются в очередь.
6. Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.

Псевдокод

[math]Q[/math] — множество состояний ДКА. [math]F[/math] — множество терминальных состояний. [math]S[/math] — очередь пар [math](C, a)[/math]. [math]P[/math] — разбиение множества состояний ДКА. [math]R[/math] — класс состояний ДКА.

 [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}[/math]
 [math]\mathtt{S} \leftarrow \varnothing [/math]
 for [math]c \in \Sigma[/math]
   insert [math](\mathtt{F}, c)[/math] in [math]\mathtt{S}[/math]
   insert [math](\mathtt{Q} \setminus \mathtt{F}, c)[/math] in [math]\mathtt{S}[/math]
 while [math]\mathtt{S} \ne \varnothing[/math]
   [math](C, a) \leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{S}[/math]
   for [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] 
     [math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] split([math]R, C, a[/math])
     if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
      replace [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
      for [math]c \in \Sigma[/math]
       insert [math](R_1, c)[/math] in [math]\mathtt{S}[/math]
       insert [math](R_2, c)[/math] in [math]\mathtt{S}[/math]

Когда очередь [math]S[/math] станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

Время работы

Время работы алгоритма оценивается как [math]O(|\Sigma| \cdot n^2)[/math], где [math] n [/math] — количество состояний ДКА, а [math] \Sigma [/math]— алфавит. Это следует из того, что если пара [math](C, a)[/math] попала в очередь, и класс [math]C[/math] использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: [math]|C| \ge |C_i| + 1[/math]. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем [math]O(n)[/math] раз. Учитывая, что ребер всего [math]O(|\Sigma| \cdot n)[/math], получаем указанную оценку.

Алгоритм Хопкрофта

Рассмотрим алгоритм, позволяющий решить задачу быстрее, чем за [math] O(n^2) [/math].

Лемма:

Класс [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math], тогда разбиение всех классов (текущее разбиение) по символу [math]a[/math] любыми двумя классами из [math]R, R_1, R_2[/math] эквивалентно разбиению всех классов с помощью [math]R, R_1, R_2[/math] по символу [math]a[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разобьем все классы с помощью [math]R [/math] и [math] R_1[/math] по символу [math]a[/math], тогда для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R[/math] and [math] \delta(r, a) \in R_1[/math] or [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_1[/math] or [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_1[/math] А так как [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math] то выполняется [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 [/math] or [math] \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2[/math] Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью [math]R_2[/math] никак не повлияет на текущее разбиение. Аналогично доказывается и для разбиения с помощью [math]R [/math] и [math] R_2[/math] по символу [math]a[/math]. Разобьем все классы с помощью [math]R_1[/math] и [math] R_2[/math] по символу [math]a[/math], тогда для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_2[/math] or [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1[/math] and [math] \delta(r, a) \in R_2[/math] or [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_2[/math] А так как [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math] то выполняется [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R [/math] or [math] \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R[/math] Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью [math]R[/math] никак не повлияет на текущее разбиение.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет пары в очередь. После замены класса [math]R[/math] в разбиении [math]P[/math] на его подклассы [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math], как и раньше перебираем символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math].

Если пара [math](R, c)[/math] уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары [math](R_1, c)[/math] и [math](R_2, c)[/math].

Если пары [math](R, c)[/math] нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар [math](R_1, c)[/math] и [math](R_2, c)[/math]. Это следует из следующих соображений: [math]R[/math] может быть в разбиении только если в очередь были положены пары [math](R, a)[/math] для [math]\forall a \in \Sigma[/math], а поскольку в очереди пары [math](R, c)[/math] нет, то мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения [math]P[/math] уже были разбиты по [math](R, c)[/math].

Реализация

[math]pushSetsToQueue(S, R_1, R_2, c)[/math] — функция, которая добавляет одно из [math](R_1, c)[/math], [math](R_2, c)[/math] в очередь S.

[math]Q[/math] — множество состояний ДКА. [math]F[/math] — множество терминальных состояний. [math]S[/math] — очередь пар [math](C, a)[/math]. [math]P[/math] — разбиение множества состояний ДКА. [math]R[/math] — класс состояний ДКА.

 [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}[/math]
 [math]\mathtt{S} \leftarrow \varnothing [/math]
 for [math]c \in \Sigma[/math]
   [math]pushSetsToQueue(S, F, Q \setminus F, c)[/math]
 while [math]\mathtt{S} \ne \varnothing[/math]
   [math](C, a) \leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{S}[/math]
   for [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] 
     [math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] split([math]R, C, a[/math])
     if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
      replace [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
      for [math]c \in \Sigma[/math]
       [math]pushSetsToQueue(S, R_1, R_2, c)[/math]

Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за T' (его нужно будет эффективно находить для каждой пары [math](C, a)[/math]).

 [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}[/math]
 [math]\mathtt{S} \leftarrow \varnothing [/math]
 for [math]c \in \Sigma[/math]
   [math]pushSetsToQueue(S, F, Q \setminus F, c)[/math]
 while [math]\mathtt{S} \ne \varnothing[/math]
   [math](C, a) \leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{S}[/math]
   [math]\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in \mathtt{Q}, \ \delta(r, a) \in C\}[/math]
   [math]T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}[/math]
   for [math]R[/math] in [math]T'[/math] 
     [math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] split([math]R, C, a[/math])
     if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
      replace [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
      for [math]c \in \Sigma[/math]
       [math]pushSetsToQueue(S, R_1, R_2, c)[/math]

Каждая итерация цикла [math] \mathrm{while} [/math] может быть выполнена за [math] O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) [/math] для текущей пары [math] (C,a)[/math]. Покажем, как можно достичь этой оценки.

Классы разбиения [math]P[/math] будем поддерживать с помощью множеств на хэш-таблицах (само же разбиение - обычный вектор, индекс - номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за O(1)).

• [math]\mathtt{Class}[r][/math] — номер класса, которому принадлежит состояние [math]r[/math]
• [math]\mathtt{Card}[i][/math] — размер класса [math]i[/math]
• [math]\mathtt{Queue}[/math] — очередь пар [math](C, a)[/math], где [math]C[/math] - номер класса (сплиттера)
• [math]\mathtt{InQueue}[C][/math] — множество на хэш-таблице, содержащее символ [math]a[/math], если в очереди содержится пара [math](C, a)[/math]
• [math]\mathtt{Inv}[r][a][/math] — массив состояний, из которых есть ребра по символу [math]a[/math] в состояние [math]r[/math] (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)

Для обработки [math]T'[/math] за [math]O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)[/math] нам понадобится следующая структура:

• [math]\mathtt{Counter}[/math] — количество классов;
• [math]\mathtt{Involved}[/math] — список из номеров классов, содержащихся во множестве [math]T'[/math];
• [math]\mathtt{Size}[/math] — целочисленный массив, где [math]\mathtt{Size}[i][/math] хранит количество состояний из класса [math]i[/math], которые содержатся в [math]\mathtt{Inverse}[/math];
• [math]\mathtt{Twin}[/math] — массив, хранящий в [math]\mathtt{Twin}[i][/math] номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса [math]i[/math].

 //Добавим [math] F, Q \setminus F [/math] в [math] \mathtt{Queue} [/math], [math]\mathtt{InQueue}[/math]
 while [math]\mathtt{Queue} \ne \varnothing[/math]
   [math](C, a) \leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{Queue}[/math]
   [math]\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing[/math]
   for [math]q \in C[/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math]
     [math]i = \mathtt{Class}[r][/math]
     if [math]\mathtt{Size}[i] == 0[/math]
       insert [math]i[/math] in [math]\mathtt{Involved}[/math]
     [math]\mathtt{Size}[i]++[/math]
   for [math] i \in \mathtt{Involved}[/math]
   	if [math]\mathtt{Size}[i] \lt  \mathtt{Card}[i][/math]
   		[math]\mathtt{Size}[i] = -1[/math] //Пометим сразу, т.к. в следующем цикле классы уже будут менятся
   for [math]q \in C[/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math]
     [math]i = \mathtt{Class}[r][/math]
     if [math]\mathtt{Size}[i] == -1[/math]
       if [math]\mathtt{Twin}[i] == 0[/math]
         [math]\mathtt{Counter}++[/math]
         [math]\mathtt{Twin[i]} = \mathtt{Counter}[/math]
       move [math]r[/math] from [math]i[/math] to [math]\mathtt{Twin}[i][/math]
   for [math] j \in \mathtt{Involved}[/math]
     if [math] \mathtt{Twin}[j] \neq 0 [/math]
         for [math]c \in \Sigma[/math]
           [math]pushSetsToQueue(\mathtt{Queue}, j, \mathtt{Twin}[j], c)[/math]
     [math]\mathtt{Size}[j] = 0[/math]
     [math]\mathtt{Twin}[j] = 0[/math]
   remove [math]a[/math] from [math]\mathtt{InQueue}[C][/math]

Стоит отметить, что массивы [math]\mathtt{Size}, \mathtt{Twin}[/math] аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.

Осталось только реализовать [math]pushSetsToQueue[/math].

 [math]pushSetsToQueue(\mathtt{Queue}, R_1, R_2, c)[/math]:
     [math]cnt1  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_1][/math] 
     [math]cnt2  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_2][/math] 
     if [math] \lnot ( \mathtt{InQueue}[R_1] [/math] contains [math] c) [/math] and [math] cnt1 \lt = cnt2 [/math]
       push [math](R_1, c)[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
       insert [math] c [/math] into [math]\mathtt{InQueue}[R_1][/math]
     else
       push [math](R_2, c)[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
       insert [math] c [/math] into [math]\mathtt{InQueue}[R_2][/math]

Время работы

Лемма (1):

Количество классов, созданных во время выполнения алгоритма, не превышает [math]2 |Q| - 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Представим дерево, которое соответствует операциям разделения классов на подклассы. Корнем этого дерева является все множество состояний [math]Q[/math]. Листьями являются классы эквивалентности, оставшиеся после работы алгоритма. Так как дерево бинарное — каждый класс может породить лишь два новых, а количество листьев не может быть больше [math]|Q|[/math], то количество узлов этого дерева не может быть больше [math]2 |Q| - 1[/math], что доказывает утверждение леммы.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

Количество итераций цикла [math]\mathrm{while}[/math] не превышает [math] 2 |\Sigma| |Q| [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар [math](C,a)[/math] добавленных в очередь [math]S[/math] не превосходит [math] 2 |\Sigma| |Q| [/math], так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди. По лемме(1) количество классов не превосходит [math]2 |Q| - 1[/math]. Пусть [math]C[/math] элемент текущего разбиения. Тогда количество пар [math](C,a), \ a \in \Sigma[/math] не может быть больше [math]|\Sigma|[/math]. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит [math] 2 |\Sigma| |Q| [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (3):

Пусть [math]a \in \Sigma[/math] и [math]p \in Q[/math]. Тогда количество пар [math](C,a)[/math], где [math]p \in C[/math], которые мы удалим из очереди, не превосходит [math]\log_2(|Q|)[/math] для фиксированных [math]a[/math] и [math]p[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math](C,a)[/math], где [math]p \in C[/math], которую мы удаляем из очереди. И пусть [math](C',a)[/math] следующая пара, где [math]p \in C'[/math] и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс [math]C'[/math] мог появиться в очереди только после операции [math]\mathtt{replace}[/math]. Но после первого же разбиения класса [math]C[/math] на подклассы мы добавим в очередь пару [math](C'', a)[/math], где [math]C''[/math] меньший из образовавшихся подклассов, то есть [math]|C''| \leqslant |C| \ / \ 2[/math]. Так же заметим, что [math]C' \subseteq C''[/math], а следовательно [math]|C'| \leqslant |C| \ / \ 2[/math]. Но тогда таких пар не может быть больше, чем [math]\log_2(|Q|)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (4):

[math]\sum |\mathtt{Inverse}|[/math] по всем итерациям цикла [math]\mathrm{while}[/math] не превосходит [math]|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x, y \in Q[/math], [math]a \in \Sigma[/math] и [math] \delta(x, a) = y[/math]. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое [math]x[/math] встречается в [math]\mathtt{Inverse}[/math] при условии, что [math] \delta(x, a) = y[/math], совпадает с числом удаленных из очереди пар [math](C, a)[/math], где [math]y \in C[/math]. Но по лемме(3) эта величина не превосходит [math]\log_2(|Q|)[/math]. Просуммировав по всем [math] x \in Q [/math] и по всем [math] a \in \Sigma[/math] мы получим утверждение леммы.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Время работы алгоритма Хопкрофта равно [math]O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма: Построение массива [math]\mathtt{Inv}[/math] занимает [math]O(|\Sigma| |Q|)[/math] времени. По второй лемме количество итераций цикла [math]\mathrm{while}[/math] не превосходит [math]O(|\Sigma| |Q|)[/math]. Операции с множеством [math]T'[/math] и разбиение классов на подклассы требуют [math]O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))[/math] времени. Но по лемме(4) [math]\sum(|\mathtt{Inverse}|)[/math] не превосходит [math]|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)[/math], то есть данная часть алгоритма выполняется за [math]O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))[/math]. В лемме(1) мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем [math]2 |Q| - 1[/math] классов, из чего следует, что количество операций [math]\mathtt{replace}[/math] равно [math]O(|\Sigma| |Q|)[/math]. Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает [math] O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Сравнение с алгоритмом из оригинальной статьи Хопкрафта

В оригинальной статье использовалась дополнительная структура, которую мы обозначим, как [math]\mathtt{ClassInv}[/math], в [math]\mathtt{ClassInv}[C][a][/math] будем хранить множество состояний, из которых есть ребро по символу [math]a[/math] в состояние [math]C[/math] (аналогично [math]Inv[/math], только для классов).

[math]\mathtt{ClassInv}[C][a] = \{ s | \mathtt{Class}[s] == C [/math] and [math] \delta^{-1} (s, a) \neq \emptyset \}[/math]

[math]pushSetsToQueue[/math] реализуем так:

[math]pushSetsToQueue(\mathtt{Queue}, R_1, R_2, c)[/math]:

 [math]cnt1  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_1][c][/math] 
 [math]cnt2  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_2][c][/math] 
 if [math] \lnot ( \mathtt{InQueue}[R_1] [/math] contains [math] c) [/math] and [math] cnt1 \lt = cnt2 [/math]
   push [math](R_1, c)[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
   insert [math] c [/math] into [math]\mathtt{InQueue}[R_1][/math]
 else
   push [math](R_2, c)[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
   insert [math] c [/math] into [math]\mathtt{InQueue}[R_2][/math]

Циклы

for [math]q \in C[/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math] [math](...)[/math]

реализуются

for [math]q \in \mathtt{ClassInv}[C][a][/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math] [math](...)[/math]'

Тогда время работы внутреннего цикла можно будет оценить как [math]O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]| + |\mathtt{Inverse}|)[/math]. А реализация [math]pushSetsToQueue[/math] выбирает множество, на котором [math]O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]|)[/math] будет меньшим.

Кроме того, вместо хэш-таблиц для хранения множеств ([math]\mathtt{ClassInv}[/math], разбиение [math]P[/math]) можно использовать комбинацию из двусвязного списка и вектора (добавление/удаление через список, поиск через вектор). Что и используется в оригинальной статье.

Литература

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
• D. Gries. Describing an algorithm by Hopcroft. Technical Report TR-72-151, Cornell University, December 1972.
• Hang Zhou. Implementation of Hopcroft's Algorithm, 19 December 2009.
• Оригинальная статья Хопкрофта