Независимые случайные величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
== Определение ==
 
== Определение ==
  
'''Независимые случайные величины''' - <math> \xi </math> и <math>\eta</math> называются независимыми, если для <math>\forall \alpha </math> и <math>\beta \in \mathbb R</math> события <math> \xi \leqslant \alpha</math> и <math> \eta \leqslant \beta</math> независимы. Иначе говоря случайная величина <math>\xi</math> называется независимой от величины <math>\beta</math>, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины <math>\xi</math> не зависит от значения величины <math>\beta</math>.
+
'''Независимые случайные величины''' - <math> \xi </math> и <math>\eta</math> называются независимыми, если для <math>\forall \alpha </math> и <math>\beta \in \mathbb R</math> события <math> \xi \leqslant \alpha</math> и <math> \eta \leqslant \beta</math> независимы. Иначе говоря, случайная величина <math>\xi</math> называется независимой от величины <math>\eta</math>, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины <math>\xi</math> не зависит от значения величины <math>\eta</math>.
  
 
== Замечание ==
 
== Замечание ==
Строка 8: Строка 8:
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
  
=== Честная монета ===
+
=== Честная игральная кость ===
 
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы.
 
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы.
  

Версия 00:02, 24 декабря 2010

Определение

Независимые случайные величины - [math] \xi [/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если для [math]\forall \alpha [/math] и [math]\beta \in \mathbb R[/math] события [math] \xi \leqslant \alpha[/math] и [math] \eta \leqslant \beta[/math] независимы. Иначе говоря, случайная величина [math]\xi[/math] называется независимой от величины [math]\eta[/math], если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины [math]\xi[/math] не зависит от значения величины [math]\eta[/math].

Замечание

Стоить отметить, что если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай [math]\xi[/math] = [math]\alpha[/math], [math]\eta[/math] = [math]\beta[/math]. Но не достаточно рассматривать случай [math]\alpha[/math] = [math]\beta[/math]. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. [math]\Omega[/math] = {0, 1}. Пусть [math]\xi[/math](i) = i, [math]\eta[/math](i) = i + 2. Если перебрать все значения [math]\alpha[/math] ([math]\alpha[/math] = [math]\beta[/math]), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Примеры

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость [math]\Omega[/math] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины. [math]\xi[/math](i) = i % 2, [math]\eta[/math](i) = [i [math]\geqslant[/math] 4]. Пусть [math]\alpha[/math] = 0, [math]\beta[/math] = 0. Тогда P([math]\xi \leqslant[/math] 0) = 1/2, P([math]\eta \leqslant[/math] 0) = 1/2, P(([math]\xi \leqslant[/math] 0)[math]\cap[/math]([math]\eta \leqslant[/math] 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] независимы.

Пример Берншейтна

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета. Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 • 1/2, то все события попарно независимы. Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4, а не 1/8, т.е. события не являются независимыми в совокупности.


Литература и источники информации

Википедия http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html