Независимые случайные величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 9: Строка 9:
  
 
=== Честная игральная кость ===
 
=== Честная игральная кость ===
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega</tex> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi</tex>(i) = i \mod 2, <tex>\eta</tex>(i) = [i <tex>\geqslant</tex> 3]. Пусть <tex>\alpha</tex> = 0, <tex>\beta</tex> = 0. Тогда P(<tex>\xi \leqslant</tex> 0) = 1/2, P(<tex>\eta \leqslant</tex> 0) = 2/3, P((<tex>\xi \leqslant</tex> 0)<tex>\cap</tex>(<tex>\eta \leqslant</tex> 0)) = 1/3. Эти события независимы, а значит случайные величины <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> независимы.
+
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega</tex> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi</tex>(i) = i % 2, <tex>\eta</tex>(i) = [i <tex>\geqslant</tex> 3]. Пусть <tex>\alpha</tex> = 0, <tex>\beta</tex> = 0. Тогда P(<tex>\xi \leqslant</tex> 0) = 1/2, P(<tex>\eta \leqslant</tex> 0) = 2/3, P((<tex>\xi \leqslant</tex> 0)<tex>\cap</tex>(<tex>\eta \leqslant</tex> 0)) = 1/3. Эти события независимы, а значит случайные величины <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> независимы.
  
  

Версия 15:26, 24 декабря 2010

Определение

Независимые случайные величины - [math] \xi [/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если для [math]\forall \alpha [/math] и [math]\beta \in \mathbb R[/math] события [math] \xi \leqslant \alpha[/math] и [math] \eta \leqslant \beta[/math] независимы. Иначе говоря, случайная величина [math]\xi[/math] называется независимой от величины [math]\eta[/math], если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины [math]\xi[/math] не зависит от значения величины [math]\eta[/math].

Замечание

Стоить отметить, что если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай [math]\xi[/math] = [math]\alpha[/math], [math]\eta[/math] = [math]\beta[/math]. Но не достаточно рассматривать случай [math]\alpha[/math] = [math]\beta[/math]. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. [math]\Omega[/math] = {0, 1}. Пусть [math]\xi[/math](i) = i, [math]\eta[/math](i) = i + 2. Если перебрать все значения [math]\alpha[/math] ([math]\alpha[/math] = [math]\beta[/math]), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Примеры

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость [math]\Omega[/math] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины. [math]\xi[/math](i) = i % 2, [math]\eta[/math](i) = [i [math]\geqslant[/math] 3]. Пусть [math]\alpha[/math] = 0, [math]\beta[/math] = 0. Тогда P([math]\xi \leqslant[/math] 0) = 1/2, P([math]\eta \leqslant[/math] 0) = 2/3, P(([math]\xi \leqslant[/math] 0)[math]\cap[/math]([math]\eta \leqslant[/math] 0)) = 1/3. Эти события независимы, а значит случайные величины [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] независимы.


Литература и источники информации

Википедия

http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html