Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах — различия между версиями
(Новая страница: «==Неразложимый элемент== {{Определение |definition= Пусть <tex>R</tex> - [[Делители нуля, области целост…») |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
| (не показано 5 промежуточных версий 3 участников) | |||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | Пусть <tex>R</tex> - [[Делители нуля, области целостности|область целостности]], тогда <tex>p \in R</tex> | + | Пусть <tex>R</tex> {{---}} [[Делители нуля, области целостности|область целостности]], тогда <tex>p \in R</tex> называется неразложимым, если <tex>p\neq 1</tex> и из того, что <tex>p=a\cdot b \Rightarrow a=1</tex> или <tex>b=1</tex>. |
}} | }} | ||
| + | |||
==Ассоциированный элемент== | ==Ассоциированный элемент== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | Если <tex>a</tex> | + | Если <tex>a\vdots b</tex> и <tex>b\vdots a</tex>, то <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} ассоциированные элементы. |
}} | }} | ||
| + | {{Теорема | ||
| + | |id=th1 | ||
| + | |statement= | ||
| + | Если <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} ассоциированные, то <tex>a\div b</tex> {{---}} обратимый элемент. | ||
| + | |proof= | ||
| + | Пусть <tex>a = b\cdot c</tex>, <tex>b = a\cdot d</tex>, тогда <tex>a=b\cdot c=a\cdot d\cdot c \Rightarrow a\cdot (1-d\cdot c)=0 \Rightarrow 1-d\cdot c=0, d\cdot c=1 \Rightarrow c\cdot d</tex> {{---}} обратимый элемент. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
==Разложение на множители в целостных кольцах== | ==Разложение на множители в целостных кольцах== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | <tex>R</tex> - кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов. | + | <tex>R</tex> {{---}} кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов. |
}} | }} | ||
Текущая версия на 19:20, 4 сентября 2022
Неразложимый элемент
| Определение: |
| Пусть — область целостности, тогда называется неразложимым, если и из того, что или . |
Ассоциированный элемент
| Определение: |
| Если и , то и — ассоциированные элементы. |
| Теорема: |
Если и — ассоциированные, то — обратимый элемент. |
| Доказательство: |
| Пусть , , тогда — обратимый элемент. |
Разложение на множители в целостных кольцах
| Определение: |
| — кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов. |
